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    直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为 . 答案 x-y+1=0 例1 已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0. (1)求证:不论m为何值.圆心在同一直线l上, (2)与l平行的直线中.哪些与圆相交.相切.相离, (3)求证:任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 2+［y-(m-1)］2=25. 设圆心为(x.y).则消去m得 l:x-3y-3=0.则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上. (2)解 设与l平行的直线是l1:x-3y+b=0. 则圆心到直线l1的距离为 d=. ∵圆的半径为r=5. ∴当d＜r.即-5-3＜b＜5-3时.直线与圆相交, 当d=r,即b=±5-3时.直线与圆相切, 当d＞r.即b＜-5-3或b＞5-3时.直线与圆相离. (3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1:x-3y+b=0.由于圆心到直线l1的距离d=. 弦长=2且r和d均为常量. ∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 例2 从点A发出的光线l射到x轴上.被x轴反射.其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切.求光线l所在直线的方程. 解 方法一 如图所示.设l与x轴交于点B(b,0).则kAB=,根据光的反射定律. 反射光线的斜率k反=. ∴反射光线所在直线的方程为 y=(x-b), 即3x-(b+3)y-3b=0. ∵已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C(2,2). 半径为1, ∴=1,解得b1=-,b2=1. ∴kAB=-或kAB=-. ∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 方法二 已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1:(x-2)2+(y+2)2=1.其圆心C1的坐标为.半径为1.由光的反射定律知.入射光线所在直线方程与圆C1相切. 设l的方程为y-3=k(x+3),则=1, 即12k2+25k+12=0. ∴k1=-.k2=-. 则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等.且后者与已知圆相切. ∴消去b得=1. 即12k2+25k+12=0,∴k1=-,k2=-. 则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 例3 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时.(1)圆C1与圆C2相外切,(2)圆C1与圆C2内含? 解 对于圆C1与圆C2的方程.经配方后 C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果C1与C2外切.则有=3+2. (m+1)2+(m+2)2=25. m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2. (2)如果C1与C2内含.则有＜3-2. (m+1)2+(m+2)2＜1,m2+3m+2＜0, 得-2＜m＜-1, ∴当m=-5或m=2时.圆C1与圆C2外切, 当-2＜m＜-1时.圆C1与圆C2内含. 例4及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4.求l的方程, (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程. 解 (1)方法一 如图所示.AB=4.D是AB的中点.CD⊥AB.AD=2.圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为(x+2)2+(y-6)2=16.圆心C.半径r=4.故AC=4. 在Rt△ACD中.可得CD=2. 2分 设所求直线的斜率为k.则直线的方程为y-5=kx, 即kx-y+5=0. 由点C到直线AB的距离公式: =2.得k=. 此时直线l的方程为3x-4y+20=0. 4分 又直线l的斜率不存在时.此时方程为x=0. 6分 则y2-12y+24=0,∴y1=6+2,y2=6-2, ∴y2-y1=4,故x=0满足题意. ∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0. 8分 方法二 设所求直线的斜率为k.则直线的方程为 y-5=kx,即y=kx+5, 联立直线与圆的方程 消去y得(1+k2)x2+x-11=0 ① 2分 设方程①的两根为x1,x2, 由根与系数的关系得 ② 4分 由弦长公式得|x1-x2|= 将②式代入.解得k=. 此时直线的方程为3x-4y+20=0. 6分 又k不存在时也满足题意.此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. 8分 (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y), 则CD⊥PD.即·=0. 10分 =0,化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0. 12分 【查看更多】

     

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    (2008重庆高考，理6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　)

    A．f(x)为奇函数

    B．f(x)为偶函数

    C．f(x)＋1为奇函数

    D．f(x)＋1为偶函数

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