题目列表(包括答案和解析)
求圆心在直线y=-2x上,并且经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切的圆的方程.
【解析】利用圆心和半径表示圆的方程,首先
设圆心为S,则KSA=1,∴SA的方程为:y+1=x-2,即y=x-3, ………4分
和y=-2x联立解得x=1,y=-2,即圆心(1,-2)
∴r==,
故所求圆的方程为:+=2
解:法一:
设圆心为S,则KSA=1,∴SA的方程为:y+1=x-2,即y=x-3, ………4分
和y=-2x联立解得x=1,y=-2,即圆心(1,-2) ……………………8分
∴r==, ………………………10分
故所求圆的方程为:+=2 ………………………12分
法二:由条件设所求圆的方程为:+=
, ………………………6分
解得a=1,b=-2, =2 ………………………10分
所求圆的方程为:+=2 ………………………12分
其它方法相应给分
已知函数f(x)=cos(2x+)+-+sinx·cosx
⑴ 求函数f(x)的单调减区间; ⑵ 若xÎ[0,],求f(x)的最值;
⑶ 若f(a)=,2a是第一象限角,求sin2a的值.
【解析】第一问中,利用f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x=sin(2x-)令+2kp≤2x-≤+2kp,
解得+kp≤x≤+kp
第二问中,∵xÎ[0, ],∴2x-Î[-,],
∴当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-,
当2x-=, 即x=时,f(x)max=1
第三问中,(a)=sin(2a-)=,2a是第一象限角,即2kp<2a<+2kp
∴ 2kp-<2a-<+2kp,∴ cos(2a-)=
利用构造角得到sin2a=sin[(2a-)+]
解:⑴ f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x ………2分
=sin2x-cos2x=sin(2x-) ……………………3分
⑴ 令+2kp≤2x-≤+2kp,
解得+kp≤x≤+kp ……………………5分
∴ f(x)的减区间是[+kp,+kp](kÎZ) ……………………6分
⑵ ∵xÎ[0, ],∴2x-Î[-,], ……………………7分
∴当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-, ……………………8分
当2x-=, 即x=时,f(x)max=1 ……………………9分
⑶ f(a)=sin(2a-)=,2a是第一象限角,即2kp<2a<+2kp
∴ 2kp-<2a-<+2kp,∴ cos(2a-)=, ……………………11分
∴ sin2a=sin[(2a-)+]
=sin(2a-)·cos+cos(2a-)·sin ………12分
=×+×=
已知函数f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值;
(2)若a<0,且对任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范围.
【解析】第一问中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
第二问中,利用当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,
即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,结合构造函数和导数的知识来解得。
(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
(2)当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,
令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是减函数,
∵g′(x)=-2x+1=(x>0),
∴-2x2+x+a≤0在x>0时恒成立,
∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,
∴a的取值范围是
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,cosB=.
⑴ 若cosA=-,求cosC的值; ⑵ 若AC=,BC=5,求△ABC的面积.
【解析】第一问中sinB==, sinA==
cosC=cos(180°-A-B)=-cos(A+B) =sinA.sinB-cosA·cosB
=×-(-)×=
第二问中,由=+-2AB×BC×cosB得 10=+25-8AB
解得AB=5或AB=3综合得△ABC的面积为或
解:⑴ sinB==, sinA==,………………2分
∴cosC=cos(180°-A-B)=-cos(A+B) ……………………3分
=sinA.sinB-cosA·cosB ……………………4分
=×-(-)×= ……………………6分
⑵ 由=+-2AB×BC×cosB得 10=+25-8AB ………………7分
解得AB=5或AB=3, ……………………9分
若AB=5,则S△ABC=AB×BC×sinB=×5×5×= ………………10分
若AB=3,则S△ABC=AB×BC×sinB=×5×3×=……………………11分
综合得△ABC的面积为或
设函数f(x)=ax+2,
不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2),
试求不等式≤1的解集.
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