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    已知三次函数. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
    （Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的最小值；
    （Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

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    已知三次函数f（x）=x3+ax2-6x+b，a、b为实数，f（0）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-6．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）若f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立，求实数m的取值范围．

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    19、已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
    （I）求函数y=f（x）的表达式；
    （II）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
    （Ⅲ）若函数g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在区间[m-3，n]上的值域为[-4，16]，试求m、n应满足的条件．

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    已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a、b为实数．
    （1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；
    （2）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．

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    已知三次函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．
    （Ⅰ）求f（x）-f（0）的表达式；
    （Ⅱ）若对任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f'（x）成立，求f（0）的取值范围．

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    一、选择题（每小题5分，共60分）

    1.D  2.A   3.D   4.D   5.A   6.C   7.B   8.B   9.C   10.A    11.C    12.B

     

    二、填空题（每小题5分，共20分）

    13.2   14.   15.   16.③④

     

    三、解答题（共70分）

    17．（本小题满分10分）

    解：（Ⅰ）由  可得：

         又   

     .                                  --------------------------------5分

    （Ⅱ），

        

    .                                    ---------------------------------10分

     

    18．（本小题满分12分）

    解： 设A队得分为2分的事件为,

    （Ⅰ）∴.             ------------------4分

    （Ⅱ）设A队得分不少于2分的事件为M ,  B队得分不多于2分的事件为N,

    由（Ⅰ）得A队得分为2分的事件为, A队得分为3分的事件为, 

    B队得分为3分的事件为,

    ∴         -   ----------------- 9分

      .                    ------------------ 12分

     

    19．（本小题满分12分）

    解法一、

    （Ⅰ）连结交于点O，

    ∵平面，平面∩平面

    ∴

    又∵是的中点

    ∴ 是的中点. ------------------6分

    （Ⅱ）作 ，垂足为，连结

          面

    平面

          ∴是在平面上的射影

          ∴

          ∴是二面角的平面角

    ∵，

    在直角三角形中，

    ，

    二面角的大小为.   ------------------12分

    解法二、

    （Ⅰ）建立如图所示空间坐标系

    则,

    平面的法向量为由

    得,

    平面 ,

    .

    所以点是棱的中点.

    （Ⅱ）平面的法向量，设平面的法向量为. 则

    二面角的大小为.

     

    20．（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）由得：，所以等差数列的通项公式为

      .  ------------------------4分

    （Ⅱ）由得:

    从而

    故数列是单调递增的数列，又因是中的最小项，要使恒成立，

    则只需 成立即可，由此解得，由于∈,

    故适合条件的的最大值为1.  ------------------------12分

     

    21．（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）, 是奇函数,其图象关于原点对称，

    所以函数图象的对称中心即为.                         -----------------2分

    ,其图象顶点坐标为

    所以函数图象的对称中心与导函数图象的顶点横坐标相同. -----------------4分

    （Ⅱ）令得.

    当变化时,变化情况如下表:

    0

    0

    极大值

    极小值

                                                                

    时,有极大值2，

    ,曲线在点处的切线的斜率.

    直线的方程为                                   -----------------6分

    曲线在点处的切线的斜率.

    直线的方程为

    又曲线在点处的切线的斜率.

    直线的方程为.

    联立直线的方程与直线的方程, ，解得，

    .-----------------10分 

    联立直线的方程与直线的方程, ，解得,

    .

    ,

    所以. -----------------12分

    图象如右：

     

     

     

     

     

     

     

    22．（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）过点作垂直直线于点

    依题意得：，

    所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线， 

    即曲线的方程是                      ---------------------4分

    （Ⅱ）解法一：设、、，则

    由知，， ∴，

    又∵切线AQ的方程为：，注意到

    切线AQ的方程可化为：，

    由在切线AQ上， ∴

    所以点在直线上；

    同理，由切线BQ的方程可得：.

    所以点在直线上；

    可知，直线AB的方程为：，

    即直线AB的方程为：，

    ∴直线AB必过定点.     ------------------------12分

     

    （Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为，则

    由知，，得切线方程：.

    即为：，又∵在切线上，

    所以可得：，解之得：.

    所以切点，

    ∴.

    故直线AB的方程为：

    化简得：

    即直线AB的方程为：

    ∴直线AB必过定点.

     


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