当P为何值时，对任意实数x,不等式－9＜≤6恒   成立.

将原不等式等价转化为一元二次不等式组.

已知函数；

（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围。

（2）若函数，若在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，求实数的取值范围。

【解析】第一问中，利用导数，因为在其定义域内的单调递增函数，所以 内满足恒成立，得到结论第二问中，在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式 在[1，e]上有解，转换为不等式有解来解答即可。

解：（1），

因为在其定义域内的单调递增函数，

所以 内满足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

当且仅当，即x=1时取等号，

在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是.

（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式 在[1，e]上有解，设

 上的增函数，依题意需

实数k的取值范围是

 

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用的定义域是     

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是

第二问中，若对任意不等式恒成立，问题等价于只需研究最值即可。

解： （I）的定义域是     ．．．．．．1分

              ．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是     ．．．．．．．．4分

（II）若对任意不等式恒成立，

问题等价于，                   ．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

故也是最小值点，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

当b<1时，；

当时，；

当b>2时，；             ．．．．．．．．．．．．8分

问题等价于 ．．．．．．．．11分

解得b<1 或 或    即，所以实数b的取值范围是 

 

已知递增等差数列满足：，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式对任意恒成立，试猜想出实数的最小值，并证明．

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为，

由题意可知，即，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于，利用当时，；当时，；而，所以猜想，的最小值为然后加以证明即可。

解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等价于，

当时，；当时，；

而，所以猜想，的最小值为．     …………8分

下证不等式对任意恒成立．

方法一：数学归纳法．

当时，，成立．

假设当时，不等式成立，

当时，， …………10分

只要证  ，只要证  ，

只要证  ，只要证  ，

只要证  ，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分

方法二：单调性证明．

要证 

只要证  ，  

设数列的通项公式，        …………10分

，    …………12分

所以对，都有，可知数列为单调递减数列．

而，所以恒成立，

故的最小值为．

 

已知指数函数，当时，有，解关于x的不等式

【解析】本试题主要考查了指数函数，对数函数性质的运用。首先利用指数函数，当时，有，，得到，从而

等价于，联立不等式组可以解得

解：∵ 在时，有， ∴  。

于是由，得，

解得， ∴ 不等式的解集为。