题目列表(包括答案和解析)
已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆C;其长轴长等于4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且?若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解,直线与椭圆的位置关系的运用。
第一问中,可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
第二问中,
假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范围。
(Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
(Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
则.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得.
综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率k的取值范围是
(10分)如图,这是一个奖杯的三视图,(1)请你说明这个奖杯是由哪些基本几何体组成的;(2)求出这个奖杯的体积(列出计算式子,将数字代入即可,不必求出最终结果).
把函数的图象按向量平移得到函数的图象.
(1)求函数的解析式; (2)若,证明:.
【解析】本试题主要考查了函数 平抑变换和运用函数思想证明不等式。第一问中,利用设上任意一点为(x,y)则平移前对应点是(x+1,y-2)代入 ,便可以得到结论。第二问中,令,然后求导,利用最小值大于零得到。
(1)解:设上任意一点为(x,y)则平移前对应点是(x+1,y-2)代入 得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以.……4分
(2) 证明:令,……6分
则……8分
,∴,∴在上单调递增.……10分
故,即
已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是
(A)(1-,2) (B)(0,2) (C)(-1,2) (D)(0,1+)
【解析】 做出三角形的区域如图,由图象可知当直线经过点B时,截距最大,此时,当直线经过点C时,直线截距最小.因为轴,所以,三角形的边长为2,设,则,解得,,因为顶点C在第一象限,所以,即代入直线得,所以的取值范围是,选A.
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x |
2 |
x |
2 |
1 |
2 |
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