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    (Ⅱ)若.且对任意总有成立.求实数的取值范围. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，,.

    （1）求的值；

    （2）判断在上的单调性，并证明；

    （3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续。试证明：在处连续．

     

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    已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，,.
    （1）求的值；
    （2）判断在上的单调性，并证明；
    （3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续。试证明：在处连续．

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    定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x2与h（x）=a-2x-1是定义在[0，1]上的函数．
    （1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
    （2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
    （3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．

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    （14分）对于函数,若存在，使成立，则称点，

    为函数的不动点.

    （1）若函数有不动点,求的解析表达式;

    （2）若对于任意实数,函数总有2个相异的不动点,求实数的取值范围;

    （3）若定义在上的函数满足,且存在(有限的)个不动点,求证:必为奇数.

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    定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x2与h（x）=a-2x-1是定义在[0，1]上的函数．
    （1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
    （2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
    （3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．

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    一、选择题（每小题5分，共60分）

    1.A   2.A   3.B   4.D   5.C   6.C   7.B   8.B   9.B   10.D   11.C    12.D

     

    二、填空题（每小题5分，共20分）

    13.2     14.    15.    16.③④

     

    三、解答题（共70分）

    17. （本小题满分10分）

    解：（Ⅰ）由  可得：

         又     ;        ………………………… 5分

    （Ⅱ），

        

    .                               ………………………………………… 10分

     

     

    18．（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）设A队得分为2分的事件为,

    ∴  ………… 4分

    （Ⅱ）的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;   

    ,    ,    , ,  

    0

    1

    2

    3

    ∴的分布列为:                          

                           

                                                                                                                

    ………… 8分

          于是 , ……………… 9分

    ∵ ,    ∴     ……………………… 11分

    由于, 故B队比A队实力较强.    ……………………… 12分

     

    19．（本小题满分12分）

    解法一

    （Ⅰ）连结，

         ∵平面，平面∩平面

    ∴

    又∵是的中点

    ∴是的中点

        ∵

    ∴，

    ∴是二面角的平面角.

    ，

        在直角三角形中，，   ………… 6分

    （Ⅱ）解：过 作，垂足为，连结，

    ∵是三角形的中位线，

    ∴

    ∵面

    ∴面

    ∴，又

         ∴平面

    为在平面上的射影，

    又∵，由三垂线定理逆定理，得

    ∴为二面角的平面角

    ∵，

    在直角三角形中，，

       

        ∴二面角的大小为.      ……………… 12分

     

    解法二：

    （Ⅰ）建立如图所示空间坐标系，则,

    ，

    平面的法向量为由

    得,

    平面 ,.

    所以点是棱的中点.

    平面的法向量，，

    即

    （Ⅱ）设平面的法向量为，平面的法向量

    ，，

    ∵二面角为锐角

    ∴二面角的大小为

     

     

     

    20．（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）的定义域为.

    ，令得:

    所以在内为增函数,在内为减函数.     ……………… 6分

      （Ⅱ）由题意得:,

    为递增函数,;

    为递增函数,

    的取值范围为.                                  ……………… 12分

     

    21． （本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）过点作垂直直线于点

    依题意得：，

    所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线，

    即曲线的方程是                                ………………………4分

    （Ⅱ）设、 ，  ，则

    由知，， ∴，

    又∵切线AQ的方程为：，注意到

    切线AQ的方程可化为：；

    由在切线AQ上， ∴    

    于是在直线上

    同理，由切线BQ的方程可得：   

    于是在直线上

    所以，直线AB的方程为：，

    又把代入上式得：

    ∴直线AB的方程为：

    ∴直线AB必过定点.              ………………………12分

    （Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为，则

    由知，，得切线方程：

    即为：，又∵在切线上，

    所以可得：，又把代入上式得：

    ，解之得：

    ∴，

    故直线AB的方程为：

    化简得：

    ∴直线AB的方程为：

    ∴直线AB必过定点.

     

    22．（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）由①

            得：②

    ①-②得，

    即有,

    数列是从第二项为，公比为的等比数列

      即， ……………………5分

    而满足该式， .  ……………………6分

    （Ⅱ）  ，   要使恒成立

    恒成立

    即

    当为奇数时，恒成立，而的最小值为   

                                 ………………………………………………10分

    当为偶数时，恒成立，而的最大值为 

    或

    所以，存在，使得对任意都有.  ……………………………………12分

     

     

     

     

     

     

     

     

     


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