题目列表(包括答案和解析)
若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=________.
解析:由已知得:1+xi=y+2i,∴x=2,y=1,∴x+yi=2+i.
已知在直角坐标系中,曲线C的参数方程为,在极坐标系(与直角坐标系取相同长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线的方程为.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线被曲线C截得的弦长;
学校要用三辆车从北湖校区把教师接到文庙校区,已知从北湖校区到文庙校区有两条公路,汽车走公路①堵车的概率为,不堵车的概率为;汽车走公路②堵车的概率为,不堵车的概率为,若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他原因走公路②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响。(I)若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为,求走公路②堵车的概率;(Ⅱ)在(I)的条件下,求三辆车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望。
【解析】第一问中,由已知条件结合n此独立重复试验的概率公式可知,得
第二问中可能的取值为0,1,2,3 ,
,
从而得到分布列和期望值
解:(I)由已知条件得 ,即,则的值为。
(Ⅱ)可能的取值为0,1,2,3 ,
,
的分布列为:(1分)
0 |
1 |
2 |
3 |
|
所以
已知曲线C:(m∈R)
(1) 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2) 设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。
【解析】(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当解得,所以m的取值范围是
(2)当m=4时,曲线C的方程为,点A,B的坐标分别为,
由,得
因为直线与曲线C交于不同的两点,所以
即
设点M,N的坐标分别为,则
直线BM的方程为,点G的坐标为
因为直线AN和直线AG的斜率分别为
所以
即,故A,G,N三点共线。
已知函数f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值;
(2)若a<0,且对任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范围.
【解析】第一问中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
第二问中,利用当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,
即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,结合构造函数和导数的知识来解得。
(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
(2)当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,
令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是减函数,
∵g′(x)=-2x+1=(x>0),
∴-2x2+x+a≤0在x>0时恒成立,
∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,
∴a的取值范围是
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