对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann

，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．设t(j)=

n

i=1

aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A₆₆并计算

6

j=1

t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]；
（Ⅲ）若f(n)=

1

n

n

j=1

t(j)，g(n)=

∫

n 1

1

x

dx，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

设函数f（x）=x²-ax-6和函数g(x)=

k-2

x

(k≠2)，已知过点（3，-28）的两直线与曲线f（x）分别相切于两点A（m₁，f（m₁）），B（m₂，f（m₂）），且2

5

是m₁+3与m₂+3的等比中项．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 若函数h（x）=f（x）-g（x）-4lnx在(

1

2

，4)是增函数，求k的取值范围；
（Ⅲ） 设t=

2k+1

i=1

1

|g(x-i)|

，k＞2，k∈N*，求证：ln

1+t

1+k

＜t-k．

已知f₁（x）=3^|x-1|，f₂（x）=a•3^|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=

f1(x)    f1(x)≤f2(x)  f2(x)    f1(x)＞f2(x)

（1）若f（x）=f₁（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求

d

t

；
（3）设g（x）=x²-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．