题目列表(包括答案和解析)
已知椭圆的长轴长为,焦点是,点到直线的距离为,过点且倾斜角为锐角的直线与椭圆交于A、B两点,使得.
(1)求椭圆的标准方程; (2)求直线l的方程.
【解析】(1)中利用点F1到直线x=-的距离为可知-+=.得到a2=4而c=,∴b2=a2-c2=1.
得到椭圆的方程。(2)中,利用,设出点A(x1,y1)、B(x2,y2).,借助于向量公式再利用 A、B在椭圆+y2=1上, 得到坐标的值,然后求解得到直线方程。
解:(1)∵F1到直线x=-的距离为,∴-+=.
∴a2=4而c=,∴b2=a2-c2=1.
∵椭圆的焦点在x轴上,∴所求椭圆的方程为+y2=1.……4分
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2).由第(1)问知
,
∴……6分
∵A、B在椭圆+y2=1上,
∴……10分
∴l的斜率为=.
∴l的方程为y=(x-),即x-y-=0.
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,|AB|=3米,|AD|=2米,
(I)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?
(II)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
(Ⅲ)若AN的长度不少于6米,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
【解析】本题主要考查函数的应用,导数及均值不等式的应用等,考查学生分析问题和解决问题的能力 第一问要利用相似比得到结论。
(I)由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴2<X<8/3,即AN长的取值范围是(2,8/3)或(8,+)
第二问,
当且仅当
(3)令
∴当x > 4,y′> 0,即函数y=在(4,+∞)上单调递增,∴函数y=在[6,+∞]上也单调递增.
∴当x=6时y=取得最小值,即SAMPN取得最小值27(平方米).
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