题目列表(包括答案和解析)
(本题满分13分)
在数列{an}中,an=++…+,又bn=,求数列{bn}的前n项的和.
在三棱锥P-ABC中,,,BC=5,又PA=PB=PC=AC,则点P到平面ABC的距离是 .
已知0<α<<β<π,又sinα=,cos(α+β)=-,则sinβ=( )
A.0 B.0或 C. D.±
已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若数列{an}满足a1=,an+1=f(an),bn=-1,n∈N*,证明数列{bn}是等比数列,并求出{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,证明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=-1, ∴===,
∴{bn}为等比数列,q=.又∵a1=,∴b1=-1=,
bn=b1qn-1=n-1=n(n∈N*).……………………………9分
(3)证明:∵anbn=an=1-an=1-=,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=++…+<++…+
==1-<1(n∈N*).
A
[解析] ∵a=,x>0时,x+≥2=1,等号在x=时成立,又a=4时,x+=x+≥2=4也满足x+≥1,故选A.
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