(1)

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2)PC和NC的长；

(3)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示).

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C₁C的交点为N.求

（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（2）PC和NC的长；

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值.

（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（Ⅱ）PC和NC的长；

（Ⅲ）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.

（本小题满分13分）已知正四棱锥P—ABCD的高为，底面边长为，其内接正四棱柱EFGH—E₁F₁G₁H₁的四个顶点E、F、G、H在底面上，另外四个顶点E₁、F₁、G₁、H₁分别在棱PA、PB、PC、PD上（如图所示），设正四棱柱的底面边长为．

    （Ⅰ）设内接正四棱柱的体积为，求出函数的解析式；

     （Ⅱ）试求该内接正四棱柱的最大体积及对应的的值．

在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：

（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长;

（II）该最短路线的长及的值;

（III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小