题目列表(包括答案和解析)
设x是一个自然数．若一串自然数x0＝1，x1，x2，…，xt－1，xt＝x，满足xi－1＜xi，xi－1|xi，i＝1，2，…，t．则称{x0，x1，x2，…xt}为x的一条因子链，t为该因子链的长度．T(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数．对于x＝5k×31m×1990n(k，m，n是自然数)试求T(x)与R(x)．
已知公比为q(0＜q＜1)的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{a
}各项的和为
．
(Ⅰ)求数列{an}的首项a1和公比q；
(Ⅱ)对给定的k(k＝1，2，3，…，n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak－1的等差数列，求T(2)的前10项之和；
(Ⅲ)设bi为数列T(k)的第i项，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn，并求正整数m(m＞1)，使得
存在且不等于零．(注：无穷等比数列各项的和即当n→∞时该无穷等比数列前n项和的极限)
设n、k为互素自然数，0＜k＜n，在集合M＝{1，2，…，n－1｝(n≥3)中的各数，要么着蓝色，要么着白色，已知
(1)对于各i∈M，i和n－i同色；
(2)对于各i∈M，i≠k， i和|i－k|同色．
证明：在M中的所有数均同色．
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