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    5．分段函数: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
    （Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
    （Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
    （Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得
    |f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
    1
    2
    ]
    |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
    1
    2
    ，1]
    ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

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    对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
    ①f（x）在[m，n]内是单调函数；
    ②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
    （1）求证：函数y=g(x)=3-
    5
    x
    不存在“和谐区间”．
    （2）已知：函数y=
    (a2+a)x-1
    a2x
    （a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
    （3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
    bx+c
    ax
    的函数为例）

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    （2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
    （Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
    （Ⅱ）判断函数g(x)=
    1+x，x∈[-1，0)
    1-x，x∈[0，1]
    是否满足题设条件；
    （Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
    若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

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    某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
    消费金额（元）的范围 [188，388] （388，588] （588，888] （888，1188] …
    获得奖券的金额（元） 28 58 88 128 …
    根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元．于是，该顾客获得的优惠额为：400×0.2+28=108元．设购买商品得到的优惠率=
    购买商品获得的优惠额
    商品的标价
    ．试问：
    （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
    （2）当商品的标价为[100，600]元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；
    （3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过35%的优惠率？若可以，请举一例；若不可以，试说明你的理由．

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    已知向量
    a
    =(x，1-x)    ，
    b
    =(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)    ．
    （1）是否存在x，使得
    a
    ⊥
    b
    或
    a
    ∥
    b
    ？若存在，则举一例说明；若不存在，则证明之．
    （2）求函数f(x)=
    a
    •
    b
    在区间[
    1
    3
    ，
    3
    4
    ]    上的最值．（参考公式[lnf(x)]′=
    f′(x)
    f(x)
    ）

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