已知是等差数列，其前n项和为S_n，是等比数列，且，.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）记，，证明（）.

【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

由，得，，.

由条件，得方程组，解得

所以，，.

（2）证明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：数学归纳法）

①  当n=1时，，，故等式成立.

②  假设当n=k时等式成立，即，则当n=k+1时，有：

   

   

即，因此n=k+1时等式也成立

由①和②，可知对任意，成立.

 

已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 设 (N^*).

①证明： ；

② 求证：.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

所以利用放缩法，从此得到结论。

解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

证法二：，下同证法一.           ……10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                    ………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

从而.

也即

 

设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.

（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足

【解析】(1)解：设点P的坐标为.由题意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以椭圆的离心率

（2）证明：（方法一）

依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

由条件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

由P在椭圆上，有

因为，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.

（1） 当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得

；

（2）当时，若，

求证：；

（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：

“若，则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；

② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；

解：（1）抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为，所以，

故可取满足条件.

（2）设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

；

所以.

（3） ①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；，

则，

.

故，，，是一个当时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设，分别过作

抛物线的准线的垂线，垂足分别为，

由及抛物线的定义得

，即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以只要将这点都取在轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则

，

而，所以.

（说明：本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点，均为反例.）

③ 补充条件1：“点的纵坐标（）满足 ”，即：

“当时，若，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设，

分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，

及抛物线的定义得，即，则

，

又由，所以，故命题为真.

补充条件2：“点与点为偶数，关于轴对称”，即：

“当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）