已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：4S_n=(an+1)2，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（Ⅱ）求数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n；
（Ⅲ）证明：不等式

1

3

≤Tn＜

1

2

对任意的n∈N^*都成立．

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且a_n和S_n满足：4Sn=(an+1)2 (n=1，2，3，…)，则S_n=．

设{a_n}是等比数列，公比q=2，S_n为{a_n}的前n项和．记Tn=

4Sn-S2n

an+1

，n∈N^*．设T为数列{T_n}的最大项，则正整数n₀=．

正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=(an+1)2
①试求数列{a_n}的通项公式．
②设bn=

1

an•an+1

，{b_n}前n项和S_n，求证：Sn＜

1

2

．

已知函数f(x)=log3

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

1

2

的点P是M，N的中点．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)（n∈N^*，n≥2），求

lim

n→∞

4Sn-9Sn

4Sn+1+9Sn+1

的值；
（3）在（2）的条件下，若an=

1 6 ，n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

（n∈N^*），T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求实数m的取值范围．