如图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥D-ABC的体积；
（Ⅲ）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

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如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．

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如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，动点P从点B出发，沿B→C→D的线路匀速运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是

 

．

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如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，AD=3，CD=1，点E、F分别在AD、BC上，且AE=

1

3

AD，BF=

1

3

BC．现将此梯形沿EF折至使AD=

3

的位置（如图2）．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线CE与平面BCF所成角的正弦值．

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如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．
（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小；
（2）求二面角P-AC-B的大小的余弦值．

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一.选择题(每小题5分,共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

B

D

D

B

D

A

C

C

A

A

二.填空题(每小题4分,共16分)

13.     14.    15.     16.  -  

三、解答题：(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

17、（本小题满分12分）

解:由得:

（3分）

因为所以   所以  (6分)

由正弦定理得.      (8分)  从而由余弦定理及得:

    (12分)

18、（本小题满分12分）

解：(1)∵这支篮球队与其他各队比赛胜场的事件是相互独立的,

∴首次胜场前已负了两场的概率P=(1－)×(1－)×=.   4分

(2)设A表示这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的事件,则P(A)就是6次独立重复试验中恰好发生3次的概率.∴P(A)=P₆(3)=C()³(1－)³=.     8分

(3)设ξ表示这支篮球队在6场比赛中胜场数,则ξ～B(6,).

∴Dξ=6××(1－)=,Eξ=6×=2.

故这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望是2,方差是.     12分

19、（本小题满分12分）

解: （4分）

,

  （ 6分）

当时,当时,,（9分）

当时,

当时, （11分）

综上,

所以，为等差数列.（12分）

20.(本题?分12分)

解 （1）如图2，将已知条件实现在长方体中，则直线与平面所成的角为，ks5u直线与平面所成角的为.在直角中，有，故=；在直角中，有，

故=.               6分

（2）如图2，作有

设二面角的平面角为，则             

得：.                   12分

21、（本小题满分12分）

解：因为线段的两端点在抛物线上，故可设，设线段的中点，则            7分

又，

所以：                              11分

所以，线段的中点的轨迹方程为.    12分

22、（本小题满分14分）

(1)解:f′(x)=3x²－6ax+b,

过P₁(x₁,y₁)的切线方程是y－y₁=f′(x₁)(x－x₁)(x₁≠0).

又原点在直线上,所以－(x₁³－3ax₁²+bx₁)=(－x₁)(3x₁²－6ax₁+b),

解得x₁=.       4分

(2)解:过P_n(x_n,y_n)的切线方程是y－y_n=f′(x_n)(x－x_n).

又P_n+1 (x_n+1,y_n+1)在直线上,

所以(x_n+1－x_n)²(x_n+1+2x_n－3a)=0.由x_n≠x_n+1,

解得x_n+1+2x_n－3a=0.        10分

(3)证明:由(2)得x_n+1－a=－2(x_n－a),

所以数列{x_n－a}是首项为x₁－a=,公比为－2的等比数列.

∴x_n=a+?(－2)^n-1,

即x_n=［1－(－2)^n-2］a.

当n为正偶数时,x_n<a;当n为正奇数时, x_n>a.     14分