已知椭圆：．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时的值．

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已知椭圆：．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时的值．

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已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

3

和2-

3

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时

1

a2

+

1

b2

的值．

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一、选择题：每小题5分，满分60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

A

A

A

A

B

D

D

B

C

C

二、填空题：每小题5分，满分20分.

13．

14．　

15．

16．①③④

三、解答题

17．设两个实数为a，b，，，建立平面直角坐标系aOb， 则点在正方形OABC内       ……… 2分

(Ⅰ) 记事件A“两数之和小于1.2”，即，则满足条件的点在多边形OAEFC内

所以                                    ……… 6分

(Ⅱ) 记事件B“两数的平方和小于0.25”，则满足条件的点在扇形内

所以                                                                    ………10分

18．∵m?n ∴                                ……… 4分

　　再由余弦定理得：

（Ⅰ）由得，故                      ……… 8分

（Ⅱ）由得

解得，所以的取值范围是         ………12分

19．（Ⅰ）连接，交于，易知为、中点，故在△中，为边的中位线，故∥，平面，平面，所以∥平面            ……… 5分

（Ⅱ）在平面内过点作⊥，垂足为H，

∵平面⊥平面，且平面∩平面，

∴⊥平面，∴⊥，                                 ……… 8分

又∵，为中点，∴⊥

∴⊥平面，∴⊥，又∵，

∴⊥平面．                                                           ………12分

20．（Ⅰ）∵是各项均为正数的等差数列，且公差

∴　∴           ……… 3分

∴为常数，∴是等差数列           ……… 5分

（Ⅱ）∵，∴

∴是公差为1的等差数列                                       ……… 7分

∴，∴       ……… 9分

当时，                                   ………10分

当时，

综上，                                                               ………12分

21．（Ⅰ）                                                                       ……… 4分

（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等……… 5分

⑴当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为，

．                                                       ……… 6分

⑵当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为，

．                                                       ……… 7分

⑶当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，、

P在椭圆上，.......①；R在椭圆上，......②

利用Rt△POR可得　                              ……… 9分

即　

整理得　．                                               ………11分

再将①②带入，得

综上当时，有．                                       ………12分

22．（Ⅰ）∵，且，∴

∴在上， 和变化情况如下表：

x

０

１

＋

０

－

↑

b

↓

                                                                                            ……… 2分

∵函数在上的最大值为1，

∴，此时应有 ∴

∴，                                                                  ……… 4分

（Ⅱ）                                                                             ……… 6分

所求切线方程为                                             ……… 8分

（Ⅲ）                                   ………10分

设

△     

∴当时，函数的无极值点

当时，函数有两个极值点                 ………12分