已知椭圆：．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时的值．

dyr232

三、解答题.（12×5+10=70分,答案写在答题纸的答题区内.）

17．（Ⅰ）∵ m?n                                                     ……… 2分

∴，解得                                              ……… 6分

（Ⅱ）           ……… 8分

∵，∴                                          ………10分

∴的值域为[]                                                       ………12分

18．（Ⅰ）把一根长度为8的铁丝截成3段，且三段的长度均为整数，共有21种解法．

(可视为8个相同的小球放入3个不同盒子，有种方法)   …   3分

其中能构成三角形的情况有3种情况：“2，3，3”、“3，2，3”、“3，3，2”．

则所求的概率是                                                         ……… 6分

（Ⅱ）根据题意知随机变量                                               ……… 8分

∴              ……12分

19．（Ⅰ）∵点A、D分别是、的中点，∴. …… 2分

∴∠=90º.∴.∴ ,                                                   

∵,∴⊥平面.                       ……… 4分

∵平面,∴.                                                ……… 5分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．

则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,  …6分

设平面的法向量为=（x，y，z），则：

，                                                     ……… 8分

令，得，∴=（1，1，－1）

显然，是平面的一个法向量，=（）．       ………10分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                    ………12分

20．（Ⅰ）                                                                       ……… 4分

（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等………            5分

⑴当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为，

．                                                       ……… 6分

⑵当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为，

．                                                       ……… 7分

⑶当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，、

P在椭圆上，.......①；R在椭圆上，....

②利用Rt△POR可得　           ……… 9分

即　

整理得　．                                               ………11分

再将①②带入，得

综上当时，有．                ………12分

21．（Ⅰ）时，单调递减，

当单调递增。

①若无解；

②若

③若时，上单调递增，

；

所以                                               ……… 4分

（Ⅱ）则

设则时，

单调递减，单调递增，

所以因为对一切

恒成立，所以；                                             ……… 8分

（Ⅲ）问题等价于证明，

由（Ⅰ）可知

当且仅当时取到，设

则，当且仅当时取到，

从而对一切成立．                ………12分

22．（Ⅰ）连接OC，∵OA=OB，CA=CB  ∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线         … 5分

（Ⅱ）∵ED是直径，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E

又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC       ∴  ∴BC²=BD•BE

∵tan∠CED=,∴∵△BCD∽△BEC, ∴

设BD=x,则BC=2      又BC²=BD•BE，∴(2x)²=x•(x+6)

解得x₁=0,x₂=2, ∵BD>0, ∴BD=2∴OA=OB=BD+OD=3+2=5    … 10分

23．（Ⅰ）                                                             …  5分

（Ⅱ）                                                                  … 10分

23．（Ⅰ），                                                                              …  5分

（Ⅱ）

                           … 10分