题目列表(包括答案和解析)
已知,(其中)
⑴求及;
⑵试比较与的大小,并说明理由.
【解析】第一问中取,则; …………1分
对等式两边求导,得
取,则得到结论
第二问中,要比较与的大小,即比较:与的大小,归纳猜想可得结论当时,;
当时,;
当时,;
猜想:当时,运用数学归纳法证明即可。
解:⑴取,则; …………1分
对等式两边求导,得,
取,则。 …………4分
⑵要比较与的大小,即比较:与的大小,
当时,;
当时,;
当时,; …………6分
猜想:当时,,下面用数学归纳法证明:
由上述过程可知,时结论成立,
假设当时结论成立,即,
当时,
而
∴
即时结论也成立,
∴当时,成立。 …………11分
综上得,当时,;
当时,;
当时,
已知,设和是方程的两个根,不等式对任意实数恒成立;函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围.
【解析】本试题主要考查了命题和函数零点的运用。由题设x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
当a∈[1,2]时,的最小值为3. 当a∈[1,2]时,的最小值为3.
要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只须|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
可得到要使“P∧Q”为真命题,只需P真Q真即可。
解:由题设x1+x2=a,x1x2=-2,
∴|x1-x2|==.
当a∈[1,2]时,的最小值为3.
要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只须|m-5|≤3,即2≤m≤8.
由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式
Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,
得m<-1或m>4.
综上,要使“P∧Q”为真命题,只需P真Q真,即
解得实数m的取值范围是(4,8]
已知函数,数列的项满足: ,(1)试求
(2) 猜想数列的通项,并利用数学归纳法证明.
【解析】第一问中,利用递推关系,
,
第二问中,由(1)猜想得:然后再用数学归纳法分为两步骤证明即可。
解: (1) ,
, …………….7分
(2)由(1)猜想得:
(数学归纳法证明)i) , ,命题成立
ii) 假设时,成立
则时,
综合i),ii) : 成立
已知圆M:(+)2+y2=36,定点N(,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足,.
(1)求点G的轨迹C的方程;
(2)过点(2,0)作直线,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设,是否存在这样的直线,使四边形OASB的对角线相等(即)?若存在,求出直线的方程;若不存在。说明理由。
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