（A）（不等式选做题）
若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是

（-∞，-3]∪[3，+∞）

（-∞，-3]∪[3，+∞）

．
（B）（几何证明选做题）
如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为

2 3

3

2 3

3

．
（C）（坐标系与参数方程选做题） 
在已知极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a=

2或-8

2或-8

．

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一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

C

A

B

A

B

D

D

A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）

（9）1　　             （10）1，［0，1］                （11）

（12）               （13）（-2，］∪［，2)     （14）4，（5，1，3）

三、解答题（本大题共6小题,共80分）

（15）（本小题共12分）

      解：（Ⅰ）f (x)=sin²x+2

………………………………………2分

=

=2sin(2x)………………………………………………………14分

         所以T==.……………………………………………………………………5分

    由+≤2x-≤+(kZ)得

       +≤x≤kπ+(kZ).…………………………………………………7分

所以函数f (x)的最小正周期为，单调递减区间为［，］（kZ）.

(Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=2sin(2x-).

    因为x，，

    所以.…………………………………………………………8分

因为sin()=sin＜sin，

所以当x=时，函数f (x)取得最小值-；当x=时，函数f (x)取得最大值2.………………………………………………………………………………12分

（16）（本小题共12分）

解：（Ⅰ）因为f (x)=x²(x＞0)，所以g(x)=（x＞0）.

          从而f ′(x)=2x，g′(x)=.…………………………………………3分

所以切线l₁，l₂的斜率分别为k₁=f′(x₀)=2x₀，k₂= g′(y₀)= .

又y₀=( x₀＞0)，所以k₂=.………………………………………4分

因为两切线l₁，l₂平行，所以k₁= k₂. …………………………………5分

从而(2x₀)² =1.

因为x₀＞0.

所以x₀=

所以M，N两点的坐标分别为(，)，（，）.………………7分

         （Ⅱ）设过O、M、N三点的圆的方程为:x²+y²+Dx+Ey+F=0.

               因为圆过原点，所以F =0.因为M、N关于直线y =x对称，所以圆心在直线y=x

上.

所以D =E.………………………………………………………………………10分

又因为M (，)在圆上，

所以D =E =.

所以过O、M、N三点的圆的方程为:x²+ y² .………12分

（17）（本小题共14分）

（Ⅰ）证明:连结AC₁交A₁C于点G，连结DG.

在正三棱柱ABC- A₁B₁ C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，

∴AG=GC₁.

∵AD=DB，

∴DG∥BC₁.………………………2分

∵DG平面A₁DC，BC₁平面A₁DC，

∴BC₁∥平面A₁DC.…………………4分

解法一：(Ⅱ)连结DC₁，设C₁到平面A₁DC的距

离为h.

∵四边形ACC₁A₁是平行四边形，

∴S_△= S_△.

∴V=V.

∵S_△ACD?AA₁=，

∴=.…………………………………………………………………………6分

在等边三角形ABC中，D为AB的中点，

∴CD =，CD⊥AB.

∵AD是A₁D在平面ABC内的射影，

∴CD⊥A₁D.……………………………………………………………………………8分

∴S_△=…………………………………………………………………9分

∴h=………………………………………………………………………9分

(Ⅲ)过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连结EF.

∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，DE平面ABC，

平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，

∴DE⊥平面ACC₁A₁.

∴EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影.

∴EF⊥A₁C.

      ∴∠DEF是二面角D-A₁C-A的平面角.

       ……………………………………12分

在直角三角形ADC中，DE ==.

同理可求：DF=

∴sinDEF=.

∵∠DEF，

∴∠DFE=arcsin.………………………………………………………………14分

解法二：过点A作AO⊥BC交BC于O，过点O作OE⊥BC交B₁C₁于E.因为平面

ABC⊥平面CBB₁C₁，所以AO⊥平面CBB₁C₁.分别以CB、OE、OA所在的直线为x

轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为BC=1，AA₁=，△ABC是等

边三角形，所以O为BC的中点.则

O(0，0，0)，，，

，，

C₁………………6分

(Ⅱ)设平面A₁DC的法向量为n=(x，y，z)，

则

∵=(，0，)，=（，，），

∴

取x =，得平面A₁DC的一个法向量为n =(，1，-3).………………………………8分

∴C₁到平面A₁DC的距离为：     =.…………………………………10分

（Ⅲ）同(Ⅱ)可求平面ACA₁的一个法向量为n₁=(，0，-1).………………………12分

      设二面角D-A₁C-A的大小为θ，则cosθ=cos＜n，n₁＞==.

       ∵(0，π)，

       ∴=arccos.…………………………………………………………………14分（18）（本小题共14分）

解（Ⅰ）由已知得P₁+P₂+P₃=1.

        ∵P₂=P₃，∴P₁+2P₂=1.

∵P₁，P₂是方程25x²-15x +a=0的两个根，

∴P₁+P₂ =.

∴P₁=，P₂=P₃=.…………………………………………………………3分

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400.…………………………………4分

      P(ξ=0) =×=，

      P(ξ=100) =2××=，

P(ξ=200) =2××+×=，

P(ξ=300) =2××=，

P(ξ=400) = ×=.……………………………………………………9分

随机变量ξ的分布列为：

ξ

0

100

200

300

400

P

（Ⅲ）销售利润总和的平均值为………………………………………………………11分

Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240.

∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.……………………14分

注：只求出Eξ，没有说明平均值为240元，扣1分.

（19）（本小题共14分）

解：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，则直线PA，PB的斜率分别是，.

        由条件得?=.………………………………………………3分

    即+y² =1（x≠0）.

         所以动点P的轨迹C的方程为+y² =1(x≠0).………………………5分

    注：无x≠0扣1分.

(Ⅱ)设点M，N的坐标分别是(x₁，y₁)，(x₂，y₂).

   当直线l垂直于x轴时，x₁= x₂= -1，y₁=-y₂，=.

所以=（x₁-2，y₁）=(-3，y₁)，=（x₂-2，y₂）=（-3，-y₁）.

所以?=9-=.…………………………………………………7分

当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k(x+1)，

由 得(1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0.

所以x₁+x₂=，x₁x₂=.………………………………………9分

所以?=（x₁-2）(x₂-2)+y₁y₂= x₁x₂-2(x₁+x₂) +4+y₁y₂.

因为y₁=k (x₁+1)，y₂=（x₂+1），

所以?=(k² +1)x₁x₂+（k²-2）(x₁+x₂)+k²+4=-＜.

综上所述?的最大值是.……………………………………11分

因为S≤tanMQN恒成立，

即||?||sinMQN≤恒成立.

由于?=＞0.

所以cosMQN＞0.

所以?≤2恒成立.……………………………………………13分

所以的最小值为.……………………………………………………14分

注：没有判断∠MQN为锐角，扣1分.

（20）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）{a_n}不是无界正数列，理由如下：………………………………………1分

取M=5，显然a_n=3+2sin(n) ≤5，不存在正整数n₀满足＞5；………………2分

{b_n}是无界正数列.理由如下：………………………………………………………3分

对任意的正数M，取n₀为大于2M的一个偶数，有＞＞M，所以

       {b_n}是无界正数列.…………………………………………………………………4分

     （Ⅱ）存在满足题意的正整数k.理由如下：

当n≥3时，

因为

=≥＞，

即取k=3，对于一切n≥k，有＜n成立.………………9分

注:k取大于或等于3的整数即可.

    （Ⅲ）证明：因为数列{a_n}是单调递增的正数列，

所以

＞

即＜n-1+.

因为{a_n}是无界正数列，取M =2a₁，由定义知存在正整数n₁，使＞2a₁，

所以＜n₁.

由定义可知{a_n}是无穷数列，考察数列，，，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数n_2，使得

＜（n₂-n₁）.

重复上述操作，直到确定相应的正整数n₄₀₁₈.

则＜

=-2009.

即存在正整数m=，使得＜m-2009成立.

…………………………………………………………………………………14分

说明：其他正确解法按相应步骤给分.