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根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是           。

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．B    2．D   3．A   4．A   5．B   6．C   7．C   8．C   9．A   10．B

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11．5   12．    13．    14．7       15．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

16．解：（I）由三角函数的定义可知

    又为正三角形，

   （Ⅱ）

      圆的面积为。

     该点落在内的概率

17．解：（I）依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为，公差为的等差数列，设第

个月更新的车辆数为，则

    该市的出租车总数（辆）

   （Ⅱ）依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为，公比为1.1的等比数列，则第

个月更新的车辆数，设至少需要个月才能更新完毕，

     个月更新的车辆总数，

     即，由参数数据可得

     故以此速度进行更新，至少需要37个月才能更新完该市所有的出租车

18．解（I），为等腰直角三角形，

   （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则

    设平面的一个法向量为，

    则有  得

    平面的一个法向量

    而的一个法向量

    平面与平面所成的角的余弦值

   （Ⅲ），

    设平面的法向量为，则有

    平面的一个法向量为

     若要使得面，则要，即

     解得， 当时，  面

19．解法一：

   （I）设椭圆方程为，由题意知

    故椭圆方程为

   （Ⅱ）由（I）得，所以，设的方程为（）

    代入，得

    设则

    由，

    当时，有成立。

   （Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。

     依题意知，直线BC的方程为，

     令，则

     的方程为、在直线上，

     在轴上存在定点，使得、、三点共线。

     解法二：（I）同解法一。

    （Ⅱ）由（I）得，所以。

     设的方程为

     代入，得

     设则

     当时，有成立。

    （Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。

     设存在使得、、三点共线，则，

     ，

     即

     ，。

     所以，存在，使得、、三点共线。

20．解：（I）

    当时，

    由或。

x

(0,1)

1

+

―

单调递增

极大值

单调递减

    时，，无极小值。

   （Ⅱ）存在单调递减区间，

    在内有解，即在内有解。

    若，则，在单调递增，不存在单调递减区间；

    若，则函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），要

使在内有解，则应有

或，由于，；

若，则函数的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1），

在内一定有解。

综上，或。

   （Ⅲ）依题意：，假设结论不成立，

则有

①―②，得

  由③得，

即

设，则，

令

，在（0，1）上为增函数。