题目列表(包括答案和解析)
已知
，
，其中O是坐标原点，直线l过定点A，其方向向量
，动点P到直线l的距离为d，且d＝
．
求动点P的轨迹方程；
直线m：
与点P的轨迹相交于M，N两个不同点，当
时，求直线m的倾斜角α的取值范围；
| |||||
|
| π |
| 4 |
已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且| MQ |
| AP |
| AP |
| AM |
| QM |
| QP |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
（1）B （2）A （3）B （4）A （5）C （6）D
（7）A （8）C （9）B （10）A （11）D （12）B
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）
（14）
（15）
（16）
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
（Ⅰ）解法一：由正弦定理得
.
故 
，
又 
，
故 
，
即 
，
故 
.
因为 
，
故 
，
又 
为三角形的内角，
所以
. ………………………5分
解法二：由余弦定理得 
.
将上式代入
整理得
．
故 ，
又 为三角形内角，
所以 ．
………………………5分
（Ⅱ）解：因为
．
故 
，
由已知 
得
又因为 
.
得 
，
所以
，
解得
. ………………………………………………10分
（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
∵
面
，
面，
∴
．
又∵底面是正方形，
∴
．
又∵
，
∴
面
，
又∵面
，
∴平面
平面． ………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系
．
设
，则
，在
中，
.
∴
、
、
、
、
、
．
∵
为
的中点，
，
∴
．
设
是平面
的一个法向量．
则由
可求得
.
由（Ⅰ）知
是平面的一个法向量，
且
，
∴
，即
.
∴二面角
的大小为
． ………………………………………12分
解法二：
设，则，
在中，.
设
，连接
，过
作
于
，
连结
，由（Ⅰ）知
面
.
∴在面上的射影为
，
∴
．
故
为二面角
的平面角.
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
.
∴
.
即二面角的大小为． …………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设
、两项技术指标达标的概率分别为
、
．
由题意得：
…………2分
∴
．
即一个零件经过检测为合格品的概率为
. …………6分
（Ⅱ）设该工人一个月生产的20件新产品中合格品有
件，获得奖金
元，则
． ………………8分
～
，
,
………………10分
．
即该工人一个月获得奖金的数学期望是800元． ………………12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
，
，
由
，
及勾股定理得
，
由双曲线定义得 
．
则
．
………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，故双曲线的两渐近线方程为
．
因为
过
， 且
与
同向，故设的方程为
，
则
又
的面积
，所以
．
可得与
轴的交点为
．
设与
交于点，与
交于点，
由
得
；由
得
．
故
，
，
，
从而
．
故
的取值范围是
. …………………………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
，
．
又因为函数
在
上为增函数，
在上恒成立，等价于
在上恒成立.
又
，
故当且仅当
时取等号，而
，
的最小值为
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由已知得：函数
为奇函数，
， 
， ………………………………7分
.
切点为
，其中
，
则切线的方程为：
……………………8分
由
，
得
.
又
，
，
，
，
或
，由题意知，
从而
.
，
，
.
………………………………………12分
（22）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解: 由
，
得
，
. …………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）归纳得
， ………………………4分
用数学归纳法证明:
①当
时，成立.
②假设
时，
成立，
那么
所以当
时，等式也成立.
由①、②得对一切
成立. ……………8分
（Ⅲ）证明: 设
，则
，
所以
在
上是增函数．
故
．
即
．
因为
，
故
．
=
.…………12分
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，动点N(x，y)，直线NP，NQ的斜率分别为k1，k2，且
(其中“
”可以是四则运算加、减、乘、除中的任意一种运算)，坐标原点为O，点M(2，1)．
”表示乘法，动点N的轨迹再加上P，Q两点记为曲线C，直线l平行于直线OM，且与曲线C交于A，B两个不同的点．