题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分)
已知双曲线C的方程为,离心率
,顶点到渐近线的距离为
。
(I)求双曲线C的方程;
(II)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若,求
面积的取值范围。
(本小题满分13分)
如图,ABCD的边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,g和F式l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC, 和
是平面ABCD内的两点,
和
都与平面ABCD垂直,
(Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面
体ABCDEF的体积。
(本小题共14分)
已知椭圆的中点在原点O,焦点在x轴上,点是其左顶点,点C在椭圆上且
(I)求椭圆的方程;
(II)若平行于CO的直线和椭圆交于M,N两个不同点,求
面积的最大值,并求此时直线
的方程.
(本小题满分12分)
设、
分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若是该椭圆上的一个动点,求
的取值范围;
(2)设过定点的直线
与椭圆交于不同的两点M、N,且∠
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率
的取值范围.
(3)设是它的两个顶点,直线
与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.求四边形
面积的最大值.
(本小题满分12分)
如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角
形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,
F在棱AC上,且AF=3FC.
(1)求三棱锥D-ABC的表面积;
(2)求证AC⊥平面DEF;
(3)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,
使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不
存在,试说明理由.
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
(1)B (2)A (3)B (4)A (5)C (6)D
(7)A (8)C (9)B (10)A (11)D (12)B
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
(13) (14)
(15)
(16)
三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分10分)
(Ⅰ)解法一:由正弦定理得.
故 ,
又 ,
故 ,
即 ,
故 .
因为 ,
故 ,
又 为三角形的内角,
所以
. ………………………5分
解法二:由余弦定理得 .
将上式代入 整理得
.
故 ,
又 为三角形内角,
所以 .
………………………5分
(Ⅱ)解:因为.
故 ,
由已知 得
又因为 .
得 ,
所以
,
解得
. ………………………………………………10分
(18)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:
∵面
,
面
,
∴.
又∵底面是正方形,
∴.
又∵,
∴面
,
又∵面
,
∴平面平面
. ………………………………………6分
(Ⅱ)解法一:如图建立空间直角坐标系.
设,则
,在
中,
.
∴、
、
、
、
、
.
∵
为
的中点,
,
∴.
设是平面
的一个法向量.
则由
可求得
.
由(Ⅰ)知是平面
的一个法向量,
且,
∴,即
.
∴二面角的大小为
. ………………………………………12分
解法二:
设
,则
,
在中,
.
设,连接
,过
作
于
,
连结,由(Ⅰ)知
面
.
∴在面
上的射影为
,
∴.
故为二面角
的平面角.
在中,
,
,
.
∴,
∴.
∴.
即二面角的大小为
. …………………………………12分
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:设、
两项技术指标达标的概率分别为
、
.
由题意得:
…………2分
∴.
即一个零件经过检测为合格品的概率为. …………6分
(Ⅱ)设该工人一个月生产的20件新产品中合格品有件,获得奖金
元,则
. ………………8分
~
,
,
………………10分
.
即该工人一个月获得奖金的数学期望是800元. ………………12分
(20)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设双曲线方程为,
,
由,
及勾股定理得
,
由双曲线定义得 .
则.
………………………………………5分
(Ⅱ),
,故双曲线的两渐近线方程为
.
因为过
, 且
与
同向,故设
的方程为
,
则
又的面积
,所以
.
可得与
轴的交点为
.
设与
交于点
,
与
交于点
,
由得
;由
得
.
故,
,
,
从而.
故的取值范围是
. …………………………12分
(21)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ),
.
又因为函数在
上为增函数,
在
上恒成立,等价于
在
上恒成立.
又,
故当且仅当时取等号,而
,
的最小值为
.
………………………………………6分
(Ⅱ)由已知得:函数为奇函数,
,
, ………………………………7分
.
切点为
,其中
,
则切线的方程为:
……………………8分
由,
得.
又,
,
,
,
或
,由题意知,
从而.
,
,
.
………………………………………12分
(22)(本小题满分12分)
(Ⅰ)解: 由,
得
,
. …………………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)归纳得, ………………………4分
用数学归纳法证明:
①当时,
成立.
②假设时,
成立,
那么
所以当时,等式也成立.
由①、②得对一切
成立. ……………8分
(Ⅲ)证明: 设,则
,
所以在
上是增函数.
故.
即.
因为,
故.
=
.…………12分
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