已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＜a_n+1，设b_n＝·S_n＝b₁＋b₂＋…b_n，求证：

(Ⅰ)

(Ⅱ)若数列{a_n}是公比为q且q≥3的等比数列，则S_n＜1．

已知向量，(n为正整数)，函数，设f(x)在(0，＋∞上取最小值时的自变量x取值为a_n．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)已知数列{b_n}，对任意正整数n，都有b_n·(－5)＝1成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n；

(3)在点列A₁(1，a₁)、A₂(2，a₂)、A₃(3，a₃)、…、A_n(n，a_n)、…中是否存在两点A_i，A_j(i，j为正整数)使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对(i，j)；若不存在，请你写出理由．

(Ⅱ)求函数f(x)的最大值；

已知各项均为非负整数的数列A₀∶a₀，a₁，…，a_n(n∈N^*)，满足a₀＝0，a₁＋…＋a_n＝n．若存在最小的正整数k，使得a_k＝k(k≥1)，则可定义变换T，变换T将数列A₀变为数列T(A₀)∶a₀＋1，a₁＋1，…，a_k－1＋1，0，a_k+1，…，a_n．设A_i+1＝T(A_i)，i＝0，1，2…．

(Ⅰ)若数列A₀∶0，1，1，3，0，0，试写出数列A₅；若数列A₄∶4，0，0，0，0，试写出数列A₀；

(Ⅱ)证明存在唯一的数列A₀，经过有限次T变换，可将数列A₀变为数列；

(Ⅲ)若数列A₀，经过有限次T变换，可变为数列．设S_m＝a_m＋a_m+1＋…＋a_n，m＝1，2，…，n，求证a_m＝S_m－[](m＋1)，其中[]表示不超过的最大整数．

已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n＝A_n－B_n

(Ⅰ)若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N^*，a_n+4＝a_n)，写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；

(Ⅱ)设d为非负整数，证明：d_n＝－d(n＝1，2，3…)的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；

(Ⅲ)证明：若a₁＝2，d_n＝1(n＝1，2，3…)，则{a_n}的项只能是1或2，且有无穷多项为1．