（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）当、两点在上运动，且 =6时, 求直线MN的方程

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已知椭圆C的方程为=1(a＞b＞0)，双曲线=1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F的直线l⊥l₁,又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．

(1)当l₁与l₂夹角为60°且a²+b²=4时，求椭圆C的方程;

(2)求||的最大值．

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已知椭圆C的方程为=1(a＞b＞0)，双曲线=1的两条渐近线为l₁,l₂，过椭圆C的右焦点F的直线l⊥l₁,又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B.

(1)当l₁与l₂夹角为60°且a²+b²=4时，求椭圆C的方程；

(2)求的最大值.

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已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线为
l₁，l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）．
（1）当l₁与l₂的夹角为60°，且△POF的面积为

3

2

时，求椭圆C的方程；
（2）当

FA

=λ

AP

时，求当λ取到最大值时椭圆的离心率．

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已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为l₁，l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)．

(1)当l₁与l₂的夹角为60°，且△POF的面积为时，求椭圆C的方程；

(2)当时，求的最大值．

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说明：

       一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则.

       二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

       三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

       四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．

1、A             2、A             3、C              4、C              5、A             6、C

7、B              8、C              9、A             10、D            11、B            12、B

二、填空题：本大题共4个小题；每小题4分，共16分.本题主要考查基础知识和基本运算．

13、2                   14、0                   15、2                       16、② ④

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.

17．本小题主要考查三角函数的符号，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，三角函数的图象及单调性等基本知识以及推理和运算能力．满分12分

解：（1）∵且sin2=∴2sincos= ,sin≥0得cos＞0

从而sin+cos＞0  ………………………………………………………… 3分

 ∴ =sin+cos===  …………6分

（2）∵∴=-sinx+cosx=sin(x+)  ………………………… 8分

∴时，的单调递增区间为[，]，………………………………10分

单调递减区间为[，2]．………………………………………… 12分

18．本小题主要考查等差、比数列的概念，应用通项公式及求和公式进行计算的能力．

满分12分

解：（1）   ∴，

        所以， 数列是以为首项，为公差的等差数列，………4分

∴

        （2）由（1）得

解法二：（1）同解法一

       （2） 由（1）得

         ∴……………8分，

         ∴，

         ∴， ……………10分

=

=，……………………………11分

            又. ………………………12分

19．本小题主要考查直线和平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离。考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分

解法一：（1）在直角梯形ABCD中，过点A做AN垂直BC，

垂足为N，易得BN=1，同时四边形ANCD是矩形，

则CN=1，点N为BC的中点，所以点N与点M重合,．

…………………………………………………………2分

连结AM,

因为平面ABCD，所以,又AD∥BC，

所以SM AD。………4分

（2）过点A做AG垂直SM，G为垂足，

易证平面SAM,

则，在RT中， 。………7分

又AD∥平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距离AG,

点D到平面SBC的距离为………8分

（3）取AB中点E，因为是等边三角形，所以,又,得，过点E作EF垂直SB， F为垂足，连结CF，则，所以是二面角A-SB-C的平面角．………10分

在RT中，.在RT中，，所以二面角A-SB-C的大小为．………12分

解法二：（1）同解法一．

（2）根据（1），如图所示，分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）

所以，,．

设平面SBC的法向量，则,

即 ，

解得，取．………6分

又=，则点D到平面SBC的距离

．………8分

（3）设平面ASB的法向量，则,

即，

解得，取．………10分

∴，则二面角A-SB-C的大小为．………12分

20．本小题主要考查排列组合与概率的基础知识，考查推理、运算能力与分类讨论思想，以及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分12分

解：（1）因为掷出1点的概率为，

所以甲盒中有3个球的概率………………………4分

     （2）甲、乙、丙3个盒中的球数依次成等差数列有以下三种情况：

①甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0、1、2，

此时的概率  ……………………………6分

②甲、乙、丙3个盒中的球数分别为1、1、1，

此时的概率  ……………………………8分

③甲、乙、丙3个盒中的球数分别为2、1、0，

此时的概率 ……………………………10分

所以，甲、乙、丙3个盒中的球数依次成等差数列的概率…12分

21．本小题主要考查函数的单调性、最值等基本知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法；考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力以及运算能力，满分12分．

解（Ⅰ）

上单调递增，在[－2，2]上单调递减，

，……2分

，

…………………………4分

又 

……………………………………………………6分

   （Ⅱ）已知条件等价于在……………………8分

上为减函数，

且……………………………………10分

上为减函数，

又………………………………………………12分

22．本小题主要考查直线、椭圆、向量等基础知识，以及应用这些知识研究曲线几何特征

基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．

解:（１）当时  ，，

消去得:  ， ………2分

此时ㄓ>0，

设点坐标为 , 点坐标为 ，

则有=  ，  3

=   ，  4

，∴ ，代入3、4得

消去得

解得，

 则所求椭圆C的方程．……………………6分

 (２) 当2时，椭圆C的方程，………………７分

设点坐标为 , 点坐标为，

直线的方程为:，

与的方程: 联立得: M点的纵坐标，

同理可得: ，………………９分

则=   

      …10分

     ，

此时ㄓ>0，由 =   ，=   ，

=   ，=   ，……………… 12分

则，

 ……………………13分

（当时取等号），

∴的最小值为6. ……………………14分