直线l：y=k（x-1）过已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

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直线x+

3

y-2=0与圆x²+y²=4相交于C₁的圆心为（3，0），且经过点A（4，1）．
（1）求圆C₁的方程；
（2）若圆C₂与圆C₁关于直线l对称，点B、D分别为圆C₁、C₂上任意一点，求|BD|的最小值；
（3）已知直线l上一点M在第一象限，两质点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒2

2

个单位沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时直线PQ与圆C₁相切？

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第 Ⅰ 卷（共50分）

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

C

C

A

B

D

D

C

A

二、填空题：

11. 20    12.  4    13.  22       14.  24     15.

三、解答题：

16.解：（1）由得

                ………………………………………2分

                                …………………………6分

（2）

                               …………………………10分

        ……………12分

17.解：（1）取SA的中点H，连结EH,BH

E是SD的中点

四边形EFBH为平行四边形

  又

                                      ………………………4分

（2）  

以为原点，为轴，为轴，为轴，如图所示建立直角坐标系，

则

设是平面的法向量，则

       取

则到平面的距离为                …………………………8分

（3）设，则 

设是平面的法向量，则

  取  

由  得

，  故存在G点满足要求，.             …………………………12分

18.解：

由已知，得

       …………………………3分

（1）

由，得或

由，得

的递增区间是，递减区间是……………………6分

（2）不等式即 

由，得

又

在内最大值为6，最小值为－14

的取值范围为                            …………………………12分

19.解：（1） …………………………2分

  随的增大而增大

当时，                              …………………………6分

（2）连续操作四次“获胜”的概率记作，则

当且仅当   即时取“＝”

由 ，得     

当时，“获胜”的概率最大.                  …………………………12分

20.解：设A、B的坐标分别为 的方程为：

（1）N点坐标

所求的方程为：                          …………………………6分

（2）由  得 

， ， 

设点坐标为 ， 显然 

                                        …………………………13分

21.解：（1）欲使为等差数列，只需

即 

令  得

存在实数，使是等差数列.               …………………………3分

（2）

是等差数列，

                                 …………………………5分

故                               …………………………8分

（3）当时，

又，

左式.   …………………………14分