19．解：
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，
连接A1O
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，
∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1?Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥
平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（
，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）
……………………2分
（Ⅰ）由于
则
∴BD⊥AA1……………………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C的法向量
设
⊥平面AA1D
则
得到
……………………6分
所以二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是
……………………8分
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1
设
则
得
……………………9分
设
则
设
得到
……………………10分
又因为
平面DA1C1
则
?
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP……………………12分
法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面
ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD
……………………4分 （Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60° ∴AO=AA1?cos60°=1 所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以 O也是BD中点 由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C 过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE 则∠DEO为二面角D―AA1―C的平面角 ……………………6分 在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1，DO= 在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO= DE= ∴cos∠DEO= ∴二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分 （Ⅲ）存在这样的点P 连接B1C，因为A1B1 ABDC ∴四边形A1B1CD为平行四边形。 ∴A1D//B1C 在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP……………………10分 因B1BCC1，……………………12分 ∴BB1CP ∴四边形BB1CP为平行四边形 则BP//B1C ∴BP//A1D ∴BP//平面DA1C1 20．解： （Ⅰ） 令 ……………………2分 当 是增函数 当 是减函数……………………4分 ∴ ……………………6分 （Ⅲ）（i）当 时， ，由（Ⅰ）知 上是增函数，在 上是减函数  ……………………7分
又当 时， 所以 的图象在 上有公共点，等价于 …………8分 解得 …………………9分 （ii）当 时， 上是增函数， ∴ 所以原问题等价于 又 ∴无解………………11分
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15．625 16．②④
……………………4分
的夹角
……………………6分
……………………9分
有最小值。
的最小值是
……………………12分
……………………4分
的可能取值为3、4、5、6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为
……………………6分
的分布列为
