题目列表(包括答案和解析)
已知数列
的前
项和为
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 设
(
N*).
①证明： 
；
② 求证：
.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用
关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到
，②由于
，
所以
利用放缩法，从此得到结论。
解：(Ⅰ)当
时，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
从而有
，与矛盾，所以
.
从而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
证法二：
，下同证法一.
……10分
证法三：（利用对偶式）设
，
，
则
.又
，也即
，所以
，也即
，又因为
，所以
.即
………10分
证法四：（数学归纳法）①当
时, 
,命题成立;
②假设
时,命题成立,即
,
则当
时,
即
即
故当时，命题成立.
综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
从而
.
也即
解：能否投中，那得看抛物线与篮圈所在直线是否有交点。因为函数
的零点是-2与4，篮圈所在直线x=5在4的右边，抛物线又是开口向下的，所以投不中。
某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费
若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，
（１）他收旅客的租车费η是否也是一个随机变量？如果是，找出租车费η与行车路程ξ的关系式；
(２)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?这种情况下，停车累计时间是否也是一个随机变量？
2．A解析：由
知函数在
上有零点，又因为函数在(0,+
)上是减函数，所以函数y=f(x) 在(0,+)上有且只有一个零点不妨设为
,则
，又因为函数是偶函数，所以
=0并且函数在(0,+)上是减函数，因此-是(-，0)上的唯一零点，所以函数共有两个零点
下列叙述中，是随机变量的有（ ）
①某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差;②标准状态下，水沸腾的温度;③某大桥一天经过的车辆数;④向平面上投掷一点，此点坐标.
Ａ．②③ Ｂ．①② Ｃ．①③④ Ｄ．①③
某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①
；②
；③
(以上三式中
、
均为常数，且>2)．
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?
(2)若
(1)=4，(3)=6，求出所选函数(
)的解析式(注：函数的定义域是[1，6]．其中=1表示4月1日，=2表示5月1日，……以此类推)；
(3)在(2)的条件下，这种水果在几月份价格下跌?
已知数列
是各项均不为0的等差数列，公差为d，
为其前n项和，且满足
,
．数列
满足
,，
为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式
和数列的前n项和；
（2）若对任意的，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
【解析】第一问利用在
中，令n=1，n=2，
得
即
解得
，，
[
又时，
满足，
，
第二问，①当n为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．
，等号在n=2时取得．
此时
需满足
．
②当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．
是随n的增大而增大， n=1时取得最小值-6．
此时 需满足
．
第三问
，
若
成等比数列，则
，
即． 
由，可得
，即
，
． 
（1）（法一）在中，令n=1，n=2，
得 即
解得，， [
又时，满足，
，
．
（2）①当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
，等号在n=2时取得．
此时 需满足．
②当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是随n的增大而增大， n=1时取得最小值-6．
此时 需满足．
综合①、②可得的取值范围是．
（3），
若成等比数列，则，
即．
由，可得，即，
．
又
，且m>1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，
n=12时，数列
中的成等比数列
一、选择题
1-5 BBAB 文B理A 6-10 ADCBC 11-12文B理D A
6.A 提示：设
＝
，则
表示点
与点（0，0）连线的斜率.当该直线kx－y＝0与圆相切时，取得最大值与最小值.圆心（2,0），由
＝1，解得
，∴
的最大值为
.11.(文) B
11.(文) A 提示：抛物线的焦点为F（1，0），作PA垂直于准线x＝－1，则
｜PA｜＝｜PF｜，当A、P、Q在同一条直线上时，
｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，
此时，点P到Q点距离与抛物线焦点距离之和取得最小值，
P点的纵坐标为－1，有1＝4x，x＝
，此时P点坐标为（，－1），故选A。
11.（理） B提示：设
则
又
。
12.A 提示:如右图所示,设点P的坐标为(x0,y0),由抛物线以F2为顶点,F1为焦点,可得其准线的方
程为x＝3c, 根据抛物线的定义可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故应选A.
二、填空题：13-16文
理
3 35
九、实战演习
一 选择题
1．与圆
相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （ ）
A．2条 B.3条 C.4条 D.6条
1.C提示： 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为
，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同，故选C.
2．在
中，三内角
所对的边是
且
成等差数列，那么直线
与直线
的位置关系是 （ ）
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
2.B提示：成等差数列
，
又
，
，故两直线重合。选B。
3.已知函数
，集合
，集合
，则集合
的面积是
A．
B． 
C．
D． 
3.D提示： 集合
即为：
，集合
即为： 
，其面积等于半圆面积。
4．（文）已知直线m：
交x轴于M，E是直线m上的点，N(1，0)，又P在线段EN的垂直平分线上，且
，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．（文）D．
4．（理）已知P在双曲线
上变动，O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，则
的重心G的轨迹方程是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
4．（理）C．提示：双曲线焦点坐标是F(6，0)．设双曲线上任一点P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，则由重心公式，
得
，解得
，代入
，得为所求．
5.已知
是三角形的一个内角，且
，则方程
表示（ ）
A.焦点在
轴上的椭圆 B.焦点在
轴上的椭圆
C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线
5.B提示：由
，又是三角形的一个内角，故
，
再由
，
结合解得
。
故方程表示焦点在轴上的椭圆。选B。
或者结合单位圆中的三角函数线直接断定
。
6.过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （
）
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在
6.B提示：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB的长为
，故这样的直线有且仅有两条。选B。
或者（1）当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2；
（2）当该直线的斜率存在时，设该直线方程为
，代入抛物线方程得
，由
。故这样的直线有且仅有两条。
7.一个椭圆中心在原点，焦点
在轴上，
（2，
）是椭圆上一点，且
成等差数列，则椭圆方程为 （ ）
A.
B.
C.
D.
7.A提示：设椭圆方程为
，由成等差数列知
，从而
，故椭圆方程为
，将P点的坐标代入得
，故所求的椭圆方程为。选A。
8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形形状为（ ）
A .直角三角形 B. 等腰三角形 C.非等腰三角形三角形 D.等边三角形
8. B.提示：由两点间距离公式，得
，
，故选B.
9. 若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．
，
B．
， C．，
D．，
9.D提示：特别注意的题目。将直线代入双曲线方程得
若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则应满足
。选D。
10. （文）设离心率为e的双曲线
的右焦点为F，直线
过点F且斜率为K，则直线与双曲线C左、右支都有相交的充要条件是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10. （理）已知两个点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线①
②
③
④
。其中属于“B型直线”的是（
）
A、①③ B、①② C、③④ D、①④
10. （文）C 提示：由已知设渐近线的斜率为
于是
，即
故选C；
10.
（理）B 提示：理解为以M、N为焦点的双曲线，则c=5, 又|PM|-|PN|=6，则a=3,b=4,几何意义是双曲线
的右支，所谓“B型直线”即直线与双曲线的右支有交点，又渐近线为：
，逐一分析，只有①②与双曲线右支有交点，故选B；
11.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点P在双曲线上，且
，则此双曲线的离心率
的最大值为 （ ）
A、
B、
C、
D、2
11.B提示：
，
由 
又
∴
故选B项。
12．若AB过椭圆 ＋ =1 中心的弦, F1为椭圆的焦点, 则△F1AB面积的最大值为( )
A. 6 B.12 C.24 D.48
12.B提示：设AB的方程为
，代入椭圆方程得
，
。选B。
二 填空题
13.椭圆M：
=1 (a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且
的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中
. 则椭圆M的离心率e的取值范围是
13. 
14. 1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为 n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于
14. 2
提示： 
－c=m+R， +c=n+R，
∴c=
，b=2
=2.
15. 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，线段AB中点的轨迹方程是 。
15. 
提示：
满足(a-2)(b-2)=2。设AB的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y,
代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)=
(x>1,y>1)。
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，
，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若
则动点
的轨迹为椭圆；③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
16. ③、④
三 解答题（７４分）
17. （本小题满分12分）已知
，直线
：
和圆
：
．
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解析：（1）直线的方程可化为
，直线的斜率
，因为
，所以
，当且仅当
时等号成立．
所以，斜率的取值范围是
．
（2）不能．由（1）知的方程为
，其中
．
圆的圆心为
，半径
．圆心到直线的距离
．
由，得
，即
．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于
．所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．
18. （本小题满分12分）已知A、B分别是椭圆
的左右两个焦点，O为坐标原点，点P
）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求
的值
18.解：（1）由题意知：
∴椭圆的标准方程为
=1.
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点，
∴AC＋BC＝2a＝
，AB＝2c＝2 .
在△ABC中，由正弦定理，
，
∴＝
.
19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是
(
为大于0的常数).
（1）求椭圆的方程;
（2）设
是椭圆上一点,且过点
同步练习册答案
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