（2011•潍坊二模）2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏，某国际组织计划派出12名心理专家和18名核专家赴日本工作，临行前对这30名专家进行了总分为1000分的综合素质测评，测评成绩用茎叶图进行了记录，如图（单位：分）．规定测评成绩在976分以上（包括976）为“尖端专家”，测评成绩在976分以下为“高级专家”，且只有核专家中的“尖端专家”才可以独立开展工作，这些专家先飞抵日本的城市E，再分乘三辆汽车到达工作地点福岛县．已知从城市E到福岛县有三条公路，因地震破坏了道路，汽车可能受阻．据了解：汽车走公路I和公路II顺利到达的概率都为

9

10

；走公路III顺利到达的概率为

2

5

，甲、乙、丙三辆车分别走公路I、II、III，且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响．
（I）如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取6人，再从这6人中选2人，那么至少有一人是“尖端专家”的概率是多少？
（Ⅱ）求至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率；
（Ⅲ）若从所有“尖端专家”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能独立开展工作的人数，试写出ξ的数学期望．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

一、选择题

1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

6.A 提示：设＝，则表示点与点（0，0）连线的斜率.当该直线kx－y＝0与圆相切时，取得最大值与最小值.圆心（2,0），由＝1，解得，∴的最大值为.11.(文) B 

11.(文) A       提示：抛物线的焦点为F（1，0），作PA垂直于准线x＝－1，则

｜PA｜＝｜PF｜，当A、P、Q在同一条直线上时，

｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，

此时，点P到Q点距离与抛物线焦点距离之和取得最小值，

P点的纵坐标为－1，有1＝4x，x＝，此时P点坐标为（，－1），故选A。

11.（理） B提示：设则

又。

12.A    提示:如右图所示,设点P的坐标为(x₀,y₀),由抛物线以F₂为顶点,F₁为焦点,可得其准线的方

程为x＝3c, 根据抛物线的定义可得|PF₁|＝|PR|＝3c－x₀,又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得＝e, 即得|PF₂|＝ex₀－a, 由已知a|PF₂|＋c|PF₁|＝8a²，可得－a²＋3c²＝8a²,即e²＝3,由e＞1可得e＝, 故应选A.

二、填空题：13-16文理    3   35

九、实战演习

一  选择题

1．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （   ）

A．2条          B.3条         C.4条        D.6条

1.C提示： 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同，故选C.

2．在中，三内角所对的边是且成等差数列，那么直线与直线的位置关系是  （        ）

A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

2.B提示：成等差数列，

又，

，故两直线重合。选B。

3.已知函数，集合，集合，则集合的面积是      

A．             B．            C．            D．

3.D提示： 集合即为：，集合即为： ，其面积等于半圆面积。

4．（文）已知直线m：交x轴于M，E是直线m上的点，N(1，0)，又P在线段EN的垂直平分线上，且，则动点P的轨迹是(  )

A．圆   B．椭圆   C．双曲线    D．抛物线

4．（文）D．

4．（理）已知P在双曲线上变动，O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，则的重心G的轨迹方程是(  )

A．    B．

C．     D．

4．（理）C．提示：双曲线焦点坐标是F(6，0)．设双曲线上任一点P(x₀，y₀)， 的重心G(x，y)，则由重心公式，

得，解得，代入，得为所求．

5.已知是三角形的一个内角，且，则方程表示（　　　）

A.焦点在轴上的椭圆　　　　　B.焦点在轴上的椭圆

C.焦点在轴上的双曲线　　　　D.焦点在轴上的双曲线

5.B提示：由，又是三角形的一个内角，故，

再由，

结合解得

。

故方程表示焦点在轴上的椭圆。选B。

或者结合单位圆中的三角函数线直接断定。

6.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　　 ）

A.有且仅有一条     B.有且仅有两条      C.有无穷多条      D.不存在

6.B提示：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB的长为，故这样的直线有且仅有两条。选B。

或者（1）当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2；

（2）当该直线的斜率存在时，设该直线方程为，代入抛物线方程得

，由。故这样的直线有且仅有两条。

7.一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，（2，）是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为　　　　　　　　　　　　（　　　）

A.     B.    C.     D.

7.A提示：设椭圆方程为，由成等差数列知，从而，故椭圆方程为，将P点的坐标代入得，故所求的椭圆方程为。选A。

8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形形状为（  ）

A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等边三角形

8. B.提示：由两点间距离公式，得，，故选B.

9. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　）

A．，　  B．，   　　C．，　  D．，

9.D提示：特别注意的题目。将直线代入双曲线方程得

若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则应满足

。选D。

10. （文）设离心率为e的双曲线的右焦点为F，直线过点F且斜率为K，则直线与双曲线C左、右支都有相交的充要条件是（　　）

Ａ．      Ｂ． 

Ｃ．      Ｄ．

10. （理）已知两个点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线①②③④。其中属于“B型直线”的是（      ）

A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

10. （文）C  提示：由已知设渐近线的斜率为于是

，即故选C；

10. （理）B 提示：理解为以M、N为焦点的双曲线，则c=5, 又|PM|-|PN|=6，则a=3,b=4,几何意义是双曲线的右支，所谓“B型直线”即直线与双曲线的右支有交点，又渐近线为：，逐一分析，只有①②与双曲线右支有交点，故选B；

11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且，则此双曲线的离心率的最大值为   （   ）

A、      B、     C、     D、2

11.B提示：，由    又

∴ 故选B项。

12．若AB过椭圆 ＋ =1 中心的弦, F₁为椭圆的焦点, 则△F₁AB面积的最大值为(    ) 

A. 6   B.12   C.24   D.48

12.B提示：设AB的方程为，代入椭圆方程得，。选B。

二  填空题

13.椭圆M：=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值范围是[2c²，3c²]，其中. 则椭圆M的离心率e的取值范围是         

13.

14. 1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为  n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于         

14. 2提示：  －c=m+R， +c=n+R，

∴c=，b=2=2.

15. 已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，线段AB中点的轨迹方程是                               。

15. 提示：满足(a-2)(b-2)=2。设AB的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

    16．以下四个关于圆锥曲线的命题中

①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线有相同的焦点.

其中真命题的序号为                 （写出所有真命题的序号）

16. ③、④

三  解答题（７４分）

17. （本小题满分12分）已知，直线：和圆：．

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

解析：（1）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立．

所以，斜率的取值范围是．

（2）不能．由（1）知的方程为，其中．

圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离．

由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．

18. （本小题满分12分）已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值

18.解：（1）由题意知：

∴椭圆的标准方程为=1.        

（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点，

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 .   

在△ABC中，由正弦定理，  ，

∴＝ .       

19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数).

 （1）求椭圆的方程;

 （2）设是椭圆上一点,且过点