（2013•宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的 垂直平分线，若AB=6，CD=2

5

，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M=

2 1 1 a

的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

x=cosα y=sinα+1

（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．

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本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）、选修4-1：几何证明选讲
如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
若点A（2，2）在矩阵M=

cosα -sinα sinα cosα

对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
（3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
在极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
（4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知a₁，a₂…a_n都是正数，且a₁•a₂…a_n=1，求证：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ．

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（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

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一、填空题：

1． ，均有x ²+ x +1≥0  2．第一象限  3．充分而不必要条件  4． 0.01

5． 4   6． 2550   7．    8．①④  9．  R(S₁＋S₂＋S₃＋S₄)

10． ，11．   12．1  13．  14．

二、解答题：

15．（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

     3′

直方图如右所示        6′

（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 所以，抽样学生成绩的合格率是%..       9 ′

利用组中值估算抽样学生的平均分

＝

＝71

估计这次考试的平均分是71分                                            12′      

16.（1）证明:连结BD.

在长方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点，

 .

 .                           

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.                       6′

（2） 在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                 

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．                    13′

17． （1）由得                  4′

       由正弦定理得

                                       6′

                    8′

 （2）

     =                                  10′

 =                                          12′

  由（1）得

                            15′

18．（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程为：y²＋＝1　                  5′

（2）由＝λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　或O点与P点重合=              7′

当O点与P点重合=时，m=0

当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。

设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　                          11′

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                         13′

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易验证k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝                 16′

19． ⑴由题意得                  4′

（n≥2），

又∵，

数列是以为首项，以2为公比的等比数列。        8′

[则（）]

⑵由及得

，                                   11′

则          13′

                                               16′

20． （1）设

                ∴     ∴

           由

           又∵    ∴    

∴                               6′ 

           于是

由得或；   由得或

           故函数的单调递增区间为和，

单调减区间为和                              10′

（2）证明:据题意且x₁<x₂<x₃,

由(1)知f (x₁)>f (x₂)>f (x₃),

          14′

即ㄓ是钝角三角形．                                            18′

第Ⅱ部分  加试内容

一．必答题：

1．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知                       4′

   （2）ξ可取1，2，3，4.

    ，

    ；    8′

    故ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

答：ξ的数学期望为                                      10′

2．（1）由得，

求得                               3′

（2）猜想                                     5′

证明：①当n=1时，猜想成立。                            6′

②设当n=k时时，猜想成立，即，      7′

则当n=k+1时，有，

所以当n=k+1时猜想也成立                                9′

③综合①②，猜想对任何都成立。                  10′

二、选答题：

3．（1）∵DE²=EF?EC，

          ∴DE : CE=EF: ED．

          ∵ÐDEF是公共角，

          ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

          ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

          ∴ÐP=ÐEDF．----5′

（2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

     ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．   10′

4．（矩阵与变换）

解：．

，                                                5′

椭圆在的作用下的新曲线的方程为         10′

5．（1）直线的参数方程为，即．         5′

   （2）把直线代入，

得，，
则点到两点的距离之积为．                   10′

6．

        7′

当且仅当  且

 F有最小值                                         10′