（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量α2=

1 -1

，求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，

π

2

)，直线l过点A且倾斜角为

π

4

，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求证：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD。

求证：AB∥CD。
B．选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵的逆矩阵。
C．选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为（为参数，），求曲线C的普通方程。
D．选修4 - 5：不等式选讲
设≥＞0，求证：≥。

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

A

C

B

D

C

B

A

Ｂ

Ｄ

Ａ

二、填空题

13．  　　　 14. 7500  　　　  15. （-1，1）

16. 　　　　　　１７．45^o  　　　　　　　　１８．

三、解答题

１９解：（Ⅰ）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因为，所以，所以，

即的取值范围为┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因为，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值为，当即为等边三角形时取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

２０（Ⅰ）证明（方法一）取中点，连接，因为分别为中点，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取中点，连接，

因为分别为中点，所以

又因为分别为中点，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

且，

所以面面，

又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

（方法三）取中点，连接，

由题可得，又因为面面，

所以面，又因为菱形中，所以.

可以建立如图所示的空间直角坐标系

┅┅┅┅┅┅┅7分

不妨设，

可得，

，，，，所以

所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

设面的一个法向量为，则，不妨取，则，所以，又因为面，所以面.

┅┅┅┅┅┅┅12分

（Ⅱ）（方法一）

过点作的垂线交于，连接.

因为，

所以，所以面，

所以为二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

因为面面，所以点在面上的射影落在上，所以，

所以，不妨设，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.

┅┅┅┅┅┅┅８分

又，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以，因为二面角为锐角，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅１2分

２１解：

（Ⅰ）从盒中一次性取出三个球，取到白球个数的分布列是超几何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

所以期望为，所以，即盒中有 3个红球，2 个白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

（Ⅱ）由题可得的取值为0，1，2，3.

,=,,

所以的分布列为

0

1

2

3

P

                                                          ┅┅┅┅┅┅┅１１分

E =                                

答：红球的个数为2，的数学期望为2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

又，所以，

所以是等差数列，首项为，公差为1┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

则  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１2分

２３解：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，

∵，∴为直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圆C以原点O为圆心，线段A₁A₂为直径，故其方程为．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求椭圆C₁的方程是．           ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率为，则PA的斜率为，则PA的方程为：化简为：，    

同理PB的方程为                ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同时过P点，则x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直线方程为：x₀x+y₀y=4               ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以OP为直径的圆，然后求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即为AB的方程）

      从而得到、

所以      ┅┅┅┅┅┅┅8分

当且仅当.           ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用椭圆的参数方程、函数求最值等方法求的最大值）

２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

①当，即，在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②当，即，当时，在上有，所以在单调递增；当时，在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③当，即

当时，函数对称轴在y轴左侧，且，所以在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅８分

当时，函数对称轴在右侧，且，

两个根分别为，所以在上有，即在单调递增；在上有，即在单调递减.

综上：时，在单调递增；时，在单调递增，在单调递减. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，有极大值，极小值，所以

，又因为，

┅┅┅１2分

所以

=