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    (Ⅰ)求证:是等差数列, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    等差数列{an}的各项均为正整数，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1=1，且b2S2=64，{ban}是公比为64的等比数列．
    （1）求{an}与{bn}；
    （2）证明：
    1
    S1
    +
    1
    S2
    +…+
    1
    Sn
    ＜
    3
    4
    ．

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    等差数列{an}的各项为正整数，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1=1，且b2•S2=16，b3是a1、a2的等差中项
    （1）求an与bn；        
    （2）求证：
    1
    S1
    +
    1
    S2
    +…+
    1
    Sn
    ＜
    3
    4
    ．

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    等差数列{ an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn为{an}的前n项和，令bn=anan+1，数列{
    1
    bn
    }的前n项和为Tn．
    （1）求an和Sn；
    （2）求证：Tn＜
    1
    3
    ；
    （3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

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    等差数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三列中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一行．
    第一列 第二列 第三列
    第一行 -3 3 1
    第二行 5 0 2
    第三行 -1 2 0
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）若数列{bn}满足：bn=
    an+2
    2n
    ，设数列{bn}的前n项和Sn（n∈N*），证明：Sn＜2．

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    等差数列{ an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn为{an}的前n项和，令bn=anan+1，数列{数学公式}的前n项和为Tn．
    （1）求an和Sn；
    （2）求证：Tn＜数学公式；
    （3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

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    一、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    D

    C

    A

    C

    B

    D

    C

    B

    A

    Ｂ

    Ｄ

    Ａ

    二、填空题

    13．  　　　 14. 7500  　　　  15. （-1，1）

    16. 　　　　　　１７．45o  　　　　　　　　１８．

    三、解答题

    １９解：（Ⅰ）

    ┅┅┅┅┅┅┅４分

    因为，所以，所以，

    即的取值范围为┅┅┅┅┅┅┅６分

    （Ⅱ）因为，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

    所以的最小值为，当即为等边三角形时取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

    ２０（Ⅰ）证明（方法一）取中点，连接，因为分别为中点，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

    所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

    （方法二）取中点，连接，

    因为分别为中点，所以

    又因为分别为中点，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

    且，

    所以面面，

    又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

    （方法三）取中点，连接，

    由题可得，又因为面面，

    所以面，又因为菱形中，所以.

    可以建立如图所示的空间直角坐标系

    ┅┅┅┅┅┅┅7分

    不妨设，

    可得，

    ，，，，所以

    所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

    设面的一个法向量为，则，不妨取，则，所以，又因为面，所以面.

    ┅┅┅┅┅┅┅12分

     

     

     

     

     

     

     

    （Ⅱ）（方法一）

    过点作的垂线交于，连接.

    因为，

    所以，所以面，

    所以为二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

     

    因为面面，所以点在面上的射影落在上，所以，

    所以，不妨设，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

    所以，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅12分

    （方法二）由（Ⅰ）方法三可得，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.

    ┅┅┅┅┅┅┅８分

    又，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.┅┅┅┅┅┅┅１０分

    所以，因为二面角为锐角，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅１2分

    ２１解：

    （Ⅰ）从盒中一次性取出三个球，取到白球个数的分布列是超几何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

    所以期望为，所以，即盒中有 3个红球，2 个白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

    （Ⅱ）由题可得的取值为0，1，2，3.

    ,=,,

    所以的分布列为

    0

    1

    2

    3

    P

                                                              ┅┅┅┅┅┅┅１１分

    E =                                

    答：红球的个数为2，的数学期望为2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

    ２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

    即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

    又，所以，

    所以是等差数列，首项为，公差为1┅┅┅┅┅┅┅６分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

    令  ①

    则  ②┅┅┅┅┅┅９分

    ①-②可得

    所以，所以┅┅１2分

    ２３解：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，

    ∵，∴为直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分

    ∴外接圆C以原点O为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为．

    ∵2b=4，∴b=2．又，可得．

    ∴所求椭圆C1的方程是．           ┅┅┅┅┅┅┅4分

    （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），，OA的斜率为，则PA的斜率为，则PA的方程为：化简为：，    

    同理PB的方程为                ┅┅┅┅┅┅┅6分

    又PA、PB同时过P点，则x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，

    ∴AB的直线方程为：x0x+y0y=4               ┅┅┅┅┅┅┅8分

    （或者求出以OP为直径的圆，然后求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即为AB的方程）

          从而得到、

    所以      ┅┅┅┅┅┅┅8分

    当且仅当.           ┅┅┅┅┅┅┅12分

    （或者利用椭圆的参数方程、函数求最值等方法求的最大值）

     

     

    ２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

    ①当，即，在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅４分

    ②当，即，当时，在上有，所以在单调递增；当时，在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅６分

    ③当，即

    当时，函数对称轴在y轴左侧，且，所以在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅８分

    当时，函数对称轴在右侧，且，

    两个根分别为，所以在上有，即在单调递增；在上有，即在单调递减.

    综上：时，在单调递增；时，在单调递增，在单调递减. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，有极大值，极小值，所以

    ，又因为，

    ┅┅┅１2分

    所以

    =

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