题目列表(包括答案和解析)
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1 | n |
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
C
B
D
C
B
A
B
D
A
二、填空题
13. 14. 7500 15. (-1,1)
16. 17.45o 18.
三、解答题
19解:(Ⅰ)
┅┅┅┅┅┅┅4分
因为,所以,所以,
即的取值范围为┅┅┅┅┅┅┅6分
(Ⅱ)因为,所以┅┅┅┅┅┅┅8分
所以的最小值为,当即为等边三角形时取到. ┅┅┅┅┅┅┅12分
20(Ⅰ)证明(方法一)取中点,连接,因为分别为中点,所以,┅┅┅┅┅┅┅3分
所以,所以四边形为平行四边形,所以,又因为,所以面;┅┅┅┅┅┅┅6分
(方法二)取中点,连接,
因为分别为中点,所以
又因为分别为中点,所以┅┅┅┅┅┅┅3分
且,
所以面面,
又面,所以面┅┅┅┅┅┅6分
(方法三)取中点,连接,
由题可得,又因为面面,
所以面,又因为菱形中,所以.
可以建立如图所示的空间直角坐标系
┅┅┅┅┅┅┅7分
不妨设,
可得,
,,,,所以
所以,┅┅┅┅┅┅┅9分
设面的一个法向量为,则,不妨取,则,所以,又因为面,所以面.
┅┅┅┅┅┅┅12分
(Ⅱ)(方法一)
过点作的垂线交于,连接.
因为,
所以,所以面,
所以为二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅8分
因为面面,所以点在面上的射影落在上,所以,
所以,不妨设,所以,同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分
所以,所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅12分
(方法二)由(Ⅰ)方法三可得,设面的一个法向量为,则,不妨取,则.
┅┅┅┅┅┅┅8分
又,设面的一个法向量为,则,不妨取,则.┅┅┅┅┅┅┅10分
所以,因为二面角为锐角,所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅12分
21解:
(Ⅰ)从盒中一次性取出三个球,取到白球个数的分布列是超几何分布,┅┅┅┅┅┅┅1分
所以期望为,所以,即盒中有 3个红球,2 个白球.┅┅┅┅┅┅┅3分
(Ⅱ)由题可得的取值为0,1,2,3.
,=,,
所以的分布列为
0
1
2
3
P
┅┅┅┅┅┅┅11分
E =
答:红球的个数为2,的数学期望为2 ┅┅┅┅┅┅┅12分
22解:(Ⅰ)由可得,┅┅┅┅┅┅┅2分
即,所以,┅┅┅┅┅┅┅4分
又,所以,
所以是等差数列,首项为,公差为1┅┅┅┅┅┅┅6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,即┅┅┅┅┅┅┅7分
令 ①
则 ②┅┅┅┅┅┅9分
①-②可得
所以,所以┅┅12分
23解:(Ⅰ)由题意可知,可行域是以及点为顶点的三角形,
∵,∴为直角三角形, ┅┅┅┅┅┅┅2分
∴外接圆C以原点O为圆心,线段A1A2为直径,故其方程为.
∵2b=4,∴b=2.又,可得.
∴所求椭圆C1的方程是. ┅┅┅┅┅┅┅4分
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),,OA的斜率为,则PA的斜率为,则PA的方程为:化简为:,
同理PB的方程为 ┅┅┅┅┅┅┅6分
又PA、PB同时过P点,则x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,
∴AB的直线方程为:x0x+y0y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分
(或者求出以OP为直径的圆,然后求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即为AB的方程)
从而得到、
所以 ┅┅┅┅┅┅┅8分
当且仅当. ┅┅┅┅┅┅┅12分
(或者利用椭圆的参数方程、函数求最值等方法求的最大值)
24解:(Ⅰ)┅┅┅┅┅┅┅2分
①当,即,在上有,所以在单调递增;┅┅┅┅┅┅┅4分
②当,即,当时,在上有,所以在单调递增;当时,在上有,所以在单调递增;┅┅┅┅┅┅┅6分
③当,即
当时,函数对称轴在y轴左侧,且,所以在上有,所以在单调递增;┅┅┅┅┅┅┅8分
当时,函数对称轴在右侧,且,
两个根分别为,所以在上有,即在单调递增;在上有,即在单调递减.
综上:时,在单调递增;时,在单调递增,在单调递减. ┅┅┅┅┅┅┅10分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当时,有极大值,极小值,所以
,又因为,
┅┅┅12分
所以
=
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