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已知椭圆C₁：=1和圆C：x²+y²=4，且圆C与x轴交于A₁，A₂两点．
（1）设椭圆C₁的右焦点为F，点P的圆C上异于A₁，A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明；
（2）设点M（x，y）在直线x+y-3=0上，若存在点N∈C，使得∠OMN=60°（O为坐标原点），求x的取值范围．

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设椭圆C₁：的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．
（1）求线段PF的中点M的轨迹C₂的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C₁相交于点A、D，与曲线C₂顺次相交于点B、C，当时，求直线l的方程．

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（2005•海淀区二模）设椭圆C₁的中心在原点，其右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，过点F与x轴垂直的直线与C₁交于A、B两点，与C₂交于C、D两点，已知

|CD|

|AB|

=

4

3

．
（Ⅰ）过点F且倾斜角为

π

3

的直线与C₂：y²=4x交于P、Q两点，求|PQ|的值；
（Ⅱ）求椭圆C₁的方程．

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

C

A

A

D

C

B

A

D

B

B

二、填空题

13．   14.     15.７５００    16.

三、解答题

１７．证明：（Ⅰ）取AB的中点M,连FM,MC, ┅┅┅┅2分

∵ F、M分别是AE、BA的中点  

∴ FM∥EB, FM=EB=CD, ┅┅┅┅┅┅┅４分

∵ EB、CD都垂直于平面ABC 

∴ CD∥BE∴ CD∥FM,

∴四边形FMCD是平行四边形,

∴ FD∥MC.又∵

∴FD∥平面ABC                 ┅┅┅┅┅┅┅６分          

（Ⅱ）∵M是AB的中点，CA=CB，

∴CM⊥AB, ┅┅┅┅┅┅┅８分

又  CM⊥BE, ∴CM⊥面EAB, ∴CM⊥BF, ∴FD⊥BF, ┅┅┅┅┅┅┅１０分

∵F是AE的中点, EB=AB∴BF⊥EA. ∴BF⊥平面ADE      ┅┅┅┅┅┅┅１２分

18解：

（Ⅰ）实数对有

共16种不同的情况，有16条不同的直线．┅┅┅┅┅┅┅４分

当实数对为时，直线的斜率，直线倾斜角大于，

所以直线倾斜角大于的概率为；┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）直线在x轴上的截距与在y轴上截距之差，即，┅┅┅┅┅┅┅８分

当实数对为时，┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以直线在x轴上的截距与在y轴上截距之差小于7的概率为. ┅┅┅┅１２分

19解：（1）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因为，所以，所以，

即的取值范围为 ┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因为，所以 ┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值为，当即为等边三角形时取到. ┅┅┅┅┅┅┅１２分

20解：（Ⅰ）的首项为，所以 ┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以是等差数列，首项为，公差为1

┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即 ┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

则  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１２分

21解：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，∵，∴为直角三角形，                 ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圆C以原点O为圆心，线段A₁A₂为直径，故其方程为．

∵2a=4，∴a=2．又，可得．

∴所求圆C与椭圆C₁的方程分别是和． ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ2） F，设，,

当时，Q点为（），可得，∴PFOQ.

当时，，可以解得，也有PFOQ.  ┅┅┅6分

当且时，OP的斜率为，则切线PQ的斜率为，则PQ的方程为：化简为：，          ┅┅┅8分

与交得Q点坐标为             ┅┅┅10分

则，

∴PFOQ.

综上，直线PF与直线OQ垂直.                       ┅┅┅12分

22解：（Ⅰ） ┅┅┅┅┅┅┅２分

①当，即，在Ｒ上有，所以在Ｒ单调递增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②当，即，当时，在上有，所以在Ｒ单调递增；当时，在上有，所以在Ｒ单调递增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③当，即

两个根分别为，所以在上有，即在单调递增；

在上有，即在单调递减．┅┅┅┅┅┅┅８分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时函数有极值，

当时，，所以不符合题意.

当时，，此时函数的极值点都为正数

┅┅┅┅┅┅┅１０分

有极大值，极小值，所以

，

又因为，

所以

=，┅┅┅┅┅┅┅１２分

令，则，所以时单调递增，所以，即极值之和小于. ┅┅┅┅┅┅┅１４分