如图，在多面体ABCDE中，DB丄平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE＝1，BD＝2．

(Ⅰ)在线段DC上存在一点F，使得EF丄面DBC，试确定F的位置，并证明你的结论；

(Ⅱ)求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

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在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP＝m．

(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为；

(2)在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP．

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如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

；
（2）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

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如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m，
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

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一、选择题（每小题5分，共60分）

1.A   2.C     3.C   4.D  5.B   6.A   7.D   8.D  9.C   10.B    11.B      12.D

二、填空题（每小题4分，共16分）

   13.    14.3825     15.1      16.0ⅠⅡ

三、解答题

17.解：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

      而，则；

      （Ⅱ）由及正弦定理得，

      而，则

      于是，

     由得，当即时，。

18解：（Ⅰ）基本事件共有36个，方程有正根等价于，即。设“方程有两个正根”为事件，则事件包含的基本事件为共4个，故所求的概率为；

（Ⅱ）试验的全部结果构成区域，其面积为

设“方程无实根”为事件，则构成事件的区域为

，其面积为

故所求的概率为

19.解：（Ⅰ）证明：由平面及得平面，则

   而平面，则，又，则平面，

   又平面，故。

（Ⅱ）在中，过点作于点，则平面.

由已知及（Ⅰ）得.

故

(Ⅲ)在中过点作交于点，在中过点作交于点，连接，则由得

  由平面平面，则平面

再由得平面，又平面，则平面.

  故当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面.

  20.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，

则，

（Ⅱ）由

得，故数列适合条件①

而，则当或时，有最大值20

即，故数列适合条件②.

综上，故数列是“特界”数列。

     21.证明：消去得

设点，则，

由，，即

化简得，则

即，故

（Ⅱ）解：由

  化简得

    由得，即

故椭圆的长轴长的取值范围是。

22.解：（Ⅰ），由在区间上是增函数

则当时，恒有，

即在区间上恒成立。

由且，解得.

（Ⅱ）依题意得

则，解得

而

故在区间上的最大值是。

（Ⅲ）若函数的图象与函数的图象恰有3个不同的交点，

即方程恰有3个不等的实数根。

而是方程的一个实数根，则

方程有两个非零实数根，

则即且.

故满足条件的存在，其取值范围是.

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