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本题满分12分）
某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满10元，可获得一次摇奖机会，购物满20元，可获得两次摇奖机会，以此类推，摇奖机结构如图，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金2元，落入B袋为二等奖，奖金1元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

（I）求摇奖两次均获得一等奖的概率；
（II）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；
（III）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不能再参加摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。

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说明：

    一、本解答给出一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

    二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如

果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加分．

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题(每小题5分，满分60分)

1.C  2 B  3 B 4 D  5 D   6  B  7 A  8 D  9 B  10B   11C  12 A

简答与提示：

1.程组可得交点，故选C

2.正弦定理可知“” 是使“”成立的充要条件。故选C

3.。故选B

4. 因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D

5.  故选D

6以为直径的圆与圆的公共弦即为所求，直线方程为，故

选B．

7.将的图像先向左平移个单位得到的图像，再沿轴将横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）得到的图像，故选A

8.在点处目标函数取得最大值为－1，故选D.

9. 先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有种填法，再排另两张卡片有种排

   法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成个四位数，

   故选B．

10.

最大，也可用赋值法，代入即可，故选B

11.

，当三点共线时取得最小值，故选C

12. 因为函数在其定义域内为减函数，所以

恒成立，即为减函数(切线斜率减小)，故选A

13.     14.     15. 9  16. ①②④

简答与提示：

13.设正方体棱长为，则

14. ∵，∴，∴．

15.

16.由知函数关于点对称，且可得，由

知函数关于轴对称，进一步可推出周期为4，所以，故①②④正确

 三、解答题(满分70分)

  17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数图象及性质．

      解：(1)∵

             ∴．

          (2)当，即时，，       ，   

             当，即，，

             ∴函数的值域为[，1]．                            

18.（1）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题解决问题的

能力．

      解．(1)中一等奖的概率为，                         

            中二等奖的概率为，                        

中三等奖的概率为，                      

∴摇奖一次中奖的概率为                  

（2）由（1）可知，摇奖一次不中奖的概率为

两次摇奖庄家获利包括两次均未中奖和一次未中奖一次中三等奖两种情况，

所以庄家获利的概率为：

19. 本小题主要考查空间线面位置关系、异面直线所成角、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力以及空间向量的应用．

解法一：(1)证明：

               取中点为，连结、，

               ∵△是等边三角形，

               ∴

               又∵侧面底面，

               ∴底面，

               ∴为在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，

                ∴，

                ∴，

                ∴．

(2)取中点，连结、，                           

                ∵．

                ∴．

                又∵，，

                ∴平面，

∴，

∴是二面角的平面角.                  

∵，，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴二面角的大小为                         

解法二：证明：(1) 取中点为，中点为，连结，

                ∵△是等边三角形，

∴，

又∵侧面底面，

∴底面，

∴以为坐标原点，建立空间直角坐标系

如图，    (2分)

∵，△是等边三角形，

∴，

∴．

∴．

∵

∴．

(2)设平面的法向量为

   ∵

   ∴

令，则，∴               

设平面的法向量为，              

∵，

∴，

令，则，∴       

∴，

∴，

                ∴二面角的大小为.                         

20.本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，函数与方程思想，考查分析问题和解决问题的能力。

解：（1）

（2）

方程有3个不等实根

函数的图像与轴有三个不同的交点

21.本小题主要考查等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考查综合分析问题的能力和推理论证能力。

解：（1）

数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。

（3）

22. 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力

解：(1)设，则

    ∵,∴，∴，             

又