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    (Ⅰ) 求数列的通项公式,(Ⅱ) 令.求证:数列是等比数列． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an-3n（n∈N*）．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
    （Ⅱ）令bn=
    3
    Sn+3n+9
    ，数列{bn} 的前n项和为Tn，求证：Tn＜
    1
    2
    ．

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    设数列的前项和为，已知(n∈N*)．

    （Ⅰ）求数列的通项公式；

    （Ⅱ）求证：当x>0时，

    （Ⅲ）令，数列的前项和为．利用（2）的结论证明：当n∈N*且n≥2时，.

     

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    设数列的前项和为，已知(n∈N*)．
    （Ⅰ）求数列的通项公式；
    （Ⅱ）求证：当x>0时，
    （Ⅲ）令，数列的前项和为．利用（2）的结论证明：当n∈N*且n≥2时，.

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    设数列的前项和为，已知(n∈N*)．
    （Ⅰ）求数列的通项公式；
    （Ⅱ）求证：当x>0时，
    （Ⅲ）令，数列的前项和为．利用（2）的结论证明：当n∈N*且n≥2时，.

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    数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an-3n（n∈N*）．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
    （Ⅱ）令数学公式，数列{bn} 的前n项和为Tn，求证：数学公式．

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    （二十三）

    【解题思路】：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， ………………………………………………………………(2分)

    ∵　，，，

    ，，，………………………………(4分)

    ∴　当时，∵f（x）在x≥1内是增函数，

    ，．

    　　∵　，　∴　．………………………………………………(8分)

    当时，∵f（x）在x≥1内是减函数．

    同理可得或，．………………………………………(11分)

    　　综上：的解集是当时，为

    当时，为，或．…………………………(12分)

    【试题评析】：本小题主要考查最简单三角不等式的解法等基本知识，涉及到分类讨论、二次函数的对称性、向量的数量积、函数的单调性等基本知识和方法的综合运用，考查运算能力及逻辑思维能力。

     

    18．（理）【解题思路】：（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场,

    　　依题意得．……………………………(6分)

    　　（2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们彼此互斥．

    ∴　．

    ………………………………………………………………(12分)

    【试题评析】：考查互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，n次独立重复实验恰好k次发生的概率。考查逻辑思维能力，要求考生具有较强的辨别雷同信息的能力。

    19．【解题思路】：解法一：（1）取PC中点M，连结ME、MF，则MF∥CD，MF=CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四边形AFME是平行四边形，∴AF∥EM，∵AF平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)

             (2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，   ………………………………………………………………(6分)

    ∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD内过F作FH⊥PC于H，则FH就是点F到平面PCE的距离. …………………………………(10分)

    由已知，PD=，PF=，PC=，△PFH∽△PCD，∴，

    ∴FH=.           ………………………………………………………………(12分)

           解法二：（1）取PC中点M，连结EM，

    =+=，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………………(4分)

           （2）以Ａ为坐标原点，分别以所在直线为x、y、z

    轴建立坐标系.　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，

    ∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)

     ∴A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E, C(3, 2, 0)，设平面PCE的法向量为=(x, y, z)，则⊥，⊥，而=（-，0，2），

    =（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-x，z=x. 取x=4

    得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)

     

    又=（0，1，-1），

    故点F到平面PCE的距离为d=.…………(12分)

    【试题评析】：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，是否利用空间向量供考生选择。考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力   

    （二十四）

    17. 解：（1）   设，则 …………………1分

    …………………2分

    又是奇函数，所以…………………3分

    =……4分

     

     

                                         ………………5分

    是[-1，1]上增函数………………6分

    （2）是[-1，1]上增函数，由已知得: …………7分

    等价于     …………10分

    解得：，所以…………12分

     

    *二次函数在上递减………………………12分

    故时，

    ……………………13分

    ，…………………………14分

    （二十五）

    16．解： 由题意，得为锐角，，               3分

        ，                 6分

    由正弦定理得 ，                                       9分

    ．                             12分

     

    17．（本题满分12分）

    有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.

    （1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；

    （2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？

    17．解：（1）设红色骰子投掷所得点数为，其分布如下：

     

     

    8

    2

    P

    ………………2分

           ；………………………………………………4分

           设蓝色骰子投掷所得点数，其分布如下；

    7

    1

    P

    ………………6分

           ………………………………8分

    （2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，

    红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是…………12分

     

    18．（本题满分14分）

    如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

    (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

    (Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

    (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

    解：解法一

    (Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又PA平面PAB,

    ∴OD∥平面PAB.                                                         3分

    (Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

    取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC

    ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

    又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

    在Rt△ODF中,sin∠ODF=,

    ∴PA与平面PBC所成角为arcsin                                     4分

    (Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.

    ∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.                              5分

    解法二：

    ∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

    以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).

    B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

    (Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,

    ∴OD∥平面PAB.

    (Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

    ∴cos.

    设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos()|=.

    ∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.

    (Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().

    ∵OG⊥平面PBC,∴又∴,

    ∴h=,∴PA=,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.

    ∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心.

     

    （二十六）

    16、解：（1）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C

    三人同时对同一目标射击，目标被击中为事件D          …… 2分

    可知，三人同时对同一目标射击，目标不被击中为事件 

    有                                  

    又由已知       …… 6分

    ∴                                 

    答：三人同时对同一目标进行射击，目标被击中的概率为  …… 8分

    （2）甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。   …… 10分

    甲、乙、丙由先而后进行射击时所用子弹的分布列为

    ξ

    1

    2

    3

    P

    …… 11分

    由此可求出此时所耗子弹数量的期望为：   …… 13分

    按其它顺序编排进行射击时，得出所耗子弹数量的期望值均高过此时，

    因此甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。        ……  14分

     

    17、 （可用常规方法，亦可建立坐标系用向量解决，方法多样，答案过程略）

    （1）、证明略 （4分）

            （2）、（4分）

            （3）、异面直线A’C与BC’所成的角为60°（4分）

     

    18、解：（1）由已知，   …… 2分

                                   …… 4分

               由，得

               ∴p＝       ∴                …… 6分

    （2）由（1）得，         …… 7分

                  2    … ①

                  …② ……10分

                 ②-①得，

                             ＝＝       ……14分

     

    （二十七）

    17、（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）在△ABC中，

    ………………………………  6分

    （Ⅱ）由正弦定理,又,故

    即:  故△ABC是以角C为直角的直角三角形             

    又………………………………………………12分

    18．（本小题满分14分）

    (Ⅰ)证明:,

    .……2分

    又,……4分

    ∴  PD⊥面ABCD………6分

    (Ⅱ)解:连结BD,设BD交AC于点O,

    过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

    ∵PD⊥面ABCD, ∴,

    又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.

    ∴AO⊥PB,

    ∵,

    ∴,从而,

    故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………10分

    ∵ PD⊥面ABCD,   ∴PD⊥BD,

    ∴在Rt△PDB中, ,

    又∵,    ∴,………………12分

      ∴  .

    故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………14分

    （也可用向量解）

    19、（本小题满分1４分）

    （Ⅰ）由题设得，对两边平方得

     

    展开整理易得 ------------------------6分

      （Ⅱ），当且仅当＝1时取得等号.

    欲使对任意的恒成立，等价于

    即在上恒成立，而在上为单调函数或常函数，

    所以

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