如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=-x²+2x+c与y铀交于点D(0，3)。
（1）直接写出c的值。
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，顶点为C点,求直线BC的解析式。
（3）已知点P是直线BC上运动时的一个动点。    
①当点P在线段BC上运动时(点P不与B、C重合)，过点P作PE⊥y轴，垂足为 E，连接BE。设点P的坐标为(x，y)，△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；    
②试探索：在直线BC上是否存在点P，使得以点P为圆心、r为半径的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点 C为圆心、1为半径的⊙C外切？如果存在，试求r的值，并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
[提示：二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为]

（2007•攀枝花）如图，在直角坐标系中，已知点A、B在x轴上，且B（t，0）（-1＜t＜0），等腰△ABC的顶点B在以AC为直径的半圆D上，点E是直线OC与半圆D除点C以外的另一个交点，连接AE与BC相交于点F．又已知抛物线y=a（x²-2x）向左平移2个单位长度后点O恰与点A重合、点M恰与原点O重合，并把平移后所得抛物线记为H．
（1）求证：BF=BO；
（2）如果抛物线H还经过点F，试用含t的式子表示a；
（3）若AE经过△AOC的内心I，试求出此时经过三点A、F、O的抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，问在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线AF的对称点在x轴上？若存在，请求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．