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已知用户甲的电脑被某黑客乙入侵．黑客乙为了窃取甲的某重要帐户的用户名和密码，在甲的电脑中植入了如右程序框图所示的电脑程序，在甲每次登陆其重要帐户之前，电脑先执行此程序，让甲输入其用户名a，密码d和一个随机的验证码k（a、d、k均为正实数），因为甲的用户名和密码受到保护，所以乙每次只能看到验证码k和输出结果S．某一天甲登陆了两次其重要帐户，乙看当到k=2时S=

1

3

，k=5时S=

4

9

．
（Ⅰ）乙能否由此信息确定甲重要帐户的用户名和密码？若能确定，请求出a和d的值；若不能确定，请说明道理．
（Ⅱ）现记输入的a值为a₁，在程序运行的过程中，以后变量a取到的值分别记为a₂，a₃…，这样得到一个数列{a_n}，记数列{a_n}的前n项和为Q_n，b_n=2ⁿQ_n，，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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已知用户甲的电脑被某黑客乙入侵．黑客乙为了窃取甲的某重要帐户的用户名和密码，在甲的电脑中植入了如右程序框图所示的电脑程序，在甲每次登陆其重要帐户之前，电脑先执行此程序，让甲输入其用户名a，密码d和一个随机的验证码k（a、d、k均为正实数），因为甲的用户名和密码受到保护，所以乙每次只能看到验证码k和输出结果S．某一天甲登陆了两次其重要帐户，乙看当到k=2时S=，k=5时S=．
（Ⅰ）乙能否由此信息确定甲重要帐户的用户名和密码？若能确定，请求出a和d的值；若不能确定，请说明道理．
（Ⅱ）现记输入的a值为a₁，在程序运行的过程中，以后变量a取到的值分别记为a₂，a₃…，这样得到一个数列{a_n}，记数列{a_n}的前n项和为Q_n，b_n=2ⁿQ_n，，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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一、选择题(每小题5分，共50分)

1．B   2．C   3．A   4．D   5．C   6．D  7．B  8．C  9．A  10．D

二、填空题(每小题4分，共24分)

    l 1．192   12．286     13．   14．   15．840     l6．4；

三、解答题(本大题共6小题，共76分)

17．(本题12分)

解：（Ⅰ）

                         ………………………………（2分）

   …………（4分）

                                             …………………………………(6分)

       (Ⅱ)

               ．                     ……………(8分)

              由已知条件

              根据正弦定理，得               …………………（10分）

                   ……………………（12分）

18．(本题12分)

解：(Ⅰ)在7人中选出3人，总的结果数是种           ………………(2分)

记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A，则A包含两种情形：

              ①被选中的是1名女生，2名男生的结果数是种，

               ②被选中的是3名男生的结果数是种，           ………………(4分)

至多选中1名女生的概率为．  ……………(6分)

(Ⅱ)由题意知随机变量可能的取值为：0，1，2，3，则有

      ……………………（8分）

的分布列

0

1

2

3

P

……………（10分）

的数学期望        … ……(12分)

19.(本题12分)

解：(Ⅰ)连接，以所在的直线为轴，轴，轴

建立如图所示的空间直角坐标系．       …………………………………（2分)

    正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2，

．

    ．

   为的中点．

                                     …………（4分）

．

即异面直线和所成的角为      ………(6分)

(Ⅱ)．

是平面的一个法向量．        ……………………………（8分）

由（Ⅰ）得．

设平面的一个法向量为，

则由，得．

，不妨设，

  得平面的一个法向量为．            ………………（10分）

．

二面角小于，

二面角的余弦值为．             ………………（12分）

20.(本题12分)

    解：(Ⅰ)由已知得，又，

                  即．   …………………………（2分）

                  ，公差．

                  由，得   …………………………（4分）

即．解得或(舍去)．

       ．           …………………………（6分）

(Ⅱ)由得

          …………………………（8分）

                      …………………………（9分）

   是等差数列．

则

    ………………………(11分)

            ……………………(12分)

21．(本题14分)

  解：(Ⅰ)依题意得

        ．                  ………………………（2分）

            把（1，3）代入．

            解得．

椭圆的方程为．                 ………………………（4分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，设，如图所示

   点在椭圆上，

．       ①

点异于顶点、，

．

由、、三点共线，可得

从而     …………………………（7分）

 ②  …………（8分）

将①式代入②式化简得            …………（10分）

                                     …………（12分）

于是为锐角，为钝角．

点B在以MN为直径的圆内．                     ……………(14分)

22.（本题14分)

解：（Ⅰ），

                  令，得或．          ………………（2分）

                  当时，在上单调递

当时，在上单调递减，

                  而，

                  当时，的值域是．    ……………（4分）

(Ⅱ)设函数在上的值域是A，

若对任意．总存在1,使，

．                               ……………（6分）

．

①当时，，

               函数在上单调递减．

              ，

当时，不满足；    ……………………(8分)

②当时，，

令，得或(舍去        ………………(9分)

（i）时，的变化如下表：

0

2

-

0

+

0

．

，解得．      …………………(11分)

(ii)当时，

       函数在上单调递减．

       ，

        当时，不满足．         …………………(13分)

        综上可知，实数的取值范围是．     ……………………（14分）