已知椭圆C的方程为，双曲线D与椭圆有相同的焦点F₁，F₂，P为它们的一个交点，若=0，则双曲线的离心率e为

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已知椭圆C的方程为，双曲线D与椭圆有相同的焦点F₁，F₂，P为它们的一个交点，PF₁⊥PF₂，则双曲线的离心率e为（    ）。

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已知椭圆C：的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁以抛物线的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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1.B  2.C  3.D   4.C   5. B   6.A   7. C    8.A   9.A   10. B

11.B   12. A

13.甲   14.a>   15.

16. ②③④

17.解:（1）由

    又    ………………6分

(2)

同理：

故，，.……………12分

18.解法一:（1）F为PA的中点。下面给予证明：

延长DE、AB交于点M，由E为BC中点知B为AM的中点，

连接BF,则BF∥PM，PM⊏平面PDE,∴BF∥平面PDE。……6分

（2）DE为正△BCD的边BC上的中线，因此DE⊥BC，∴DE⊥AD，

又PA⊥平面ABCD，即 DE⊥PA, 所以 DE⊥平面PAD.

由此知平面PDE⊥平面PAD.

作AH⊥PD于H，则AH⊥平面PDE.

作HO⊥PM于O，

则∠AOH为所求二面角的平面角，

又在Rt∆PAD中∠PDA = 45°,PA = AD = 2，

因此AH =，又AO =,HO=  

 …………12分   

解法二：以AD为X正半轴，AP为Z轴，建立空间坐标系，则F(0,0,a),B(1, ,P(0,0,2),D(2,0,0),E(2,

,,令面PDE,

因为BF∥面PDE, ∴-1+a=0, ∴a=-1,

∴F(0,0,1)               ………………6分

(2)作DG⊥AB,PA⊥面ABCD，∴PA⊥DG,又因为AB

∴DG⊥平面PAB, 平面PDE与平面PAB所成的锐二面角为，

G(

所以tan=                  ………………12分

19．解: ⑴由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且

,，

，

所以的分布列为

.          ………………6分                  

⑵记“取出的这个球是白球”为事件，“从甲盒中任取个球”为事件，

{从甲盒中任取个球均为红球},

{从甲盒中任取个球为一红一白},

{从甲盒中任取个球均为白球},

显然，且彼此互斥.

.         ………………12分     

20．解:(1) 当a=1时，f(x)= .

f(2)=2, (2)=5,

因此,曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为:5x-y-8=0…3分

(2) x∈(0，2]时, f(x)=

若2≤a<6,则=0在(0，2)上有根x= ,且在(0，)上

>0,在(,2)上<0, 因此, f(x)在x=处取极大值,

由于只有一个极值点,所以极大值也是最大值.

由此得.

若a≥6,则在(0，2)上>0，因此，f(x)在x∈(0，2]时单调递增，

由上知a=0或4 ,均不合,舍去.

综上知  a=                    .………………8分

(3) x<0时，f(x)= ,<0

 f(x)单调递减，由k<0时，f(k-)≤f(-)对任 意

 的x≥0恒成立知：k-≥-对任意的x≥0恒成立

即,对任意的x≥0恒成立

             ………………12分

21．解：（1）由得  ………………3分

(2)

所以数列是以-2为首项，为公比的等比数列，

，

………8分

 (3)假设存在整数m、n，使成立，则，

因为

只要

又，因此m只可能为2或3

当m=2时，n=1显然成立。n≥2有故不合。

当m=3时，n=1，故不合。n=2符合要求。

n≥3，故不合。

综上可知：m=2，n=1或m=3， n=2。………………13分

22．解：（1）设A、B (,直线的斜率为k.则由得-4kx-4b=0 ，………………5分

(2)以A、B为切点的抛物线的切线分别为

    ①

又          ②

①     ②   

 即所求M点的轨迹方程为y=-4， ………………8分

3)假设存在直线y=a，被以AB为直径的圆截得的弦长为定值ℓ，

圆心距d=，

      由ℓ为定值，所以a=-1

      而当a=-1时，=-9 ，因此a=-1不合题意，舍去。

      故符合条件的直线不存在。     ………………13分