已知数列的前项和为，通项为，且满足（是常数且）．

（I）求数列的通项公式；

（II） 当时，试证明；

（III）设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（本小题13分）

设等比数列 的前项和为，首项，公比．

（I）证明：；

（II）若数列满足，，求数列的通项公式；

（III）记，，数列的前项和为，求证：当时，．

（本小题13分）
设等比数列 的前项和为，首项，公比．
（I）证明：；
（II）若数列满足，，求数列的通项公式；
（III）记，，数列的前项和为，求证：当时，．

已知数列的前五项依次是. 正数数列的前项和为，且.

（I）写出符合条件的数列的一个通项公式；

（II）求的表达式；

（III）在（I）、（II）的条件下，，当时，设，是数列的前项和，且恒成立，求实数的取值范围.

已知数列的前五项依次是. 正数数列的前项和为，且.

（I）写出符合条件的数列的一个通项公式；

（II）求的表达式；

（III）在（I）、（II）的条件下，，当时，设，是数列的前项和，且恒成立，求实数的取值范围.