题目列表(包括答案和解析)
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O：
和直线
，
（1）求圆O和直线
的直角坐标方程；（2）当
时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.
D．选修4-5：不等式证明选讲
对于任意实数
和
，不等式
恒成立，试求实数
的取值范围．
和直线
，
的直角坐标方程；（2）当
时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.
和
，不等式
恒成立，试求实数
的取值范围．C
[解析] 由基本不等式，得ab≤
＝
＝
－ab，所以ab≤
，故B错；
＋
＝
＝
≥4，故A错；由基本不等式得
≤
＝
，即
＋
≤
，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．故选C.
．定义域为R的函数
满足
，且当
时，
，则当
时，
的最小值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
．过点
作圆
的弦，其中弦长为整数的共有 （ ）
A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.A
11．31003 12．60 13．
14．
15．①②⑤
16．解：（1）设“取出两个红球”为事件A，“取出一红一白两个球”为事件B，则
……2分
由题意得
则有
，可得
……4分
∵
，∴m为奇数……6分
（2）设“取出两个白球”为事件C，则
……7分
由题意知
，即有
可得到
，从而m+n为完全平方数……9分
又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20
得到方程组：
；
解得：
，（不合题意舍去）
……11分
故满足条件的数组（m, n）只有一组（10，6）……12分
17．解：（1）∵
，……2分
即
即
……4分
由于
，故
……6分
（2）由
……8分
……10分
当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值
.
所以C的最大值为
，此时
为等腰三角形. ……12分
18．解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，
则
……4分
依题意
又140<2a<420, 70<a<210. ……6分
（1）当
时，x=a-70, y取到最大值；……8分
（2）当
时，
， y取到最大值；……10分
答：当
时，裁员a-70人；当
时，裁员
人……12分
19．解法一：（1）作
，垂足为O，连结AO，由侧面
底面ABCD，得
底面
ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又
，故
为等腰直角三角形，
由三垂线定理，得
（2）由（1）知
，依题设
，故
，由
，得
所以
的面积
连结DB，得
的面积
设D到平面SAB的距离为h，由
，
得
，解得
设SD与平面SAB所成角为
，则
所以直线SD与平面SAB所成的角为
解法二：（1）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得平面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又，为等腰直角三角形，
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O―xyz，
，所以
（2）取AB中点E，
. 连结SE，取SE中点G，连结OG，
，OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直，所以
平面SAB.
的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为
，则与互余.
所以直线SD与平面SAB所成的角为
20．解：（1）∵焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为
，代入抛物线
得：
，则有
……2分
进而
……4分
又
，
得
为钝角，故不是直角三角形.……6分
（2）由题意得AB的方程为
，
代入抛物线，求得
……8分
假设抛物线上存在点
，使为直角三角形且C为直角，此时，以AC为直径的圆的方程为
，将A、B、C三点的坐标代入得：
整理得：
……10分
解得
对应点B，
对应点C……12分
则存在
使为直角三角形.
故满足条件的点C有一个：……13分
∴
令
由
∴当
时，h(t)单调递增，∴h(t)>h(1)=0
于是
……②
由①、②可知
……10分
所以，
，即
……11分
（3）由（2）可知
在中令n=1, 2, 3, …, 2007，并将各式相加得
即
……14分
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