题目列表(包括答案和解析)
（14分）已知等比数列
的各项均为正数，且公比不等于1，数列
对任意正整数n，均有：
成立，又
。
（Ⅰ）求数列的通项公式及前n项和
；
（Ⅱ）在数列中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，……，第
项，……，组成一个新数列
，求数列的前n项和
；
（Ⅲ）当
时，比较与的大小。
设等差数列
的前
项和为
，已知
，
.
（1）求
；
（2）若从
中抽取一个公比为
的等比数列
，其中
，且
，
.
①当
取最小值时，求
的通项公式；
②若关于
的不等式
有解，试求
的值.
设等差数列
的前
项和为
，已知
，
.
（1）求
；
（2）若从
中抽取一个公比为
的等比数列
，其中
，且
，
.
①当
取最小值时，求
的通项公式；
②若关于
的不等式
有解，试求
的值.
已知等比数列
的公比为
，
是的前
项和．
（1）若
，
，求
的值；
（2）若，
，有无最值？并说明理由；
（3）设
，若首项
和
都是正整数，满足不等式：
，且对于任意正整数有
成立，问：这样的数列有几个？
已知等比数列 
的所有项均为正数，首项
且
成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列
的前
项和为
若
求实数
的值.
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
A
D
C
D
B
C
A
D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、120； 14、20； 15、
；16、2．
三、解答题
17、解：（Ⅰ）由正弦定理得
，
即
……2分
得
，因为
，所以
，得
……3分，因为
，
所以
，又
为三角形的内角，所以
……2分
（Ⅱ）
，由及
得
……2分
，
又
，所以当
时，
取最大值
……3分
18、解：（Ⅰ）设公差为
，由
，得
，
，因为数列{
}的各项均为正数，
所以得
……3分
又
，所以
……2分
由
，得
……1分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
……2分
于是
……4分
19、（Ⅰ）如图，连结
，因为
、
分别是棱
、
的中点，
所以
……2分
因为
平面
，，不在平面
内，所以
平面 ……3分
（Ⅱ）解：因为
平面，
所以
，因为是直角梯形，
且
，所以
，又
，所以
平面
，即
是三棱锥
的高 ……4分
因为是棱的中点，所以
，
于是三棱锥的体积
……3分
20、解：从5名同学
、、
、
、中选出3名同学的基本事件空间为：
，共含有10个基本事件 ……3分
（Ⅰ）设事件
为“同学被选取”，则事件包含6个基本事件，
事件发生的概率为
……3分
（Ⅱ）设事件
为“同学和同学都被选取”，则事件包含3个基本事件，
事件发生的概率为
……3分
（Ⅲ）设事件
为“同学和同学中至少有一个被选取”，则事件包含9个基本事件，事件发生的概率为
……3分
21、解：（Ⅰ）由
得
……2分
由点（
，0），（0，
）知直线
的方程为
，
于是可得直线的方程为
……2分
因此
，得
，
，
，
所以椭圆的方程为
……2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐标依次为（2，0）、
，
因为直线经过点
，所以
，得
，
即得直线的方程为
……2分
因为
，所以
，即
……1分
设
的坐标为
，则
得
，即直线
的斜率为4 ……2分
又点的坐标为，因此直线的方程为
……1分
22、解：（Ⅰ）
，因为
在
时取得极值，
所以是方程
的根，即
……2分
得
，又因为
，
所以
的取值范围是
……2分
（Ⅱ）当
时，
，
，
因为，当
时，
，在
内单调递减……2分
当
时，
，令
解得
或
，令，解得
，
于是当时，在
内单调递增，
在
内单调递减 ……2分
（Ⅲ）因为函数在
时有极值
，所以有
，
消去得
，解之得
或
，又，所以取，
此时
……2分
因此
，
，
可得当
时取极大值
，
当时取极小值
……2分
如图，方程
有三个不相等的实数根，等价于直线
与曲线
有三个不同的交点，由图象得
……2分
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