题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分14分)
已知函数。
(1)证明:
(2)若数列的通项公式为,求数列 的前项和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)设数列满足:,设,
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数,恒成立,
试求的最大值。
(本小题满分14分)已知,点在轴上,点在轴的正半轴,点在直线上,且满足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)当点在轴上移动时,求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)过的直线与轨迹交于、两点,又过、作轨迹的切线、,当,求直线的方程.(本小题满分14分)设函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根,求实数的取值范围。(本小题满分14分)
已知,其中是自然常数,
(1)讨论时, 的单调性、极值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(本小题满分14分)
设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;
(III)设数列的前项和为。已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值。
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
A
D
C
D
B
C
A
D
二、填空题(每小题4分,共16分)
13、120; 14、20; 15、;16、2.
三、解答题
17、解:(Ⅰ)由正弦定理得,
即 ……2分
得,因为,所以,得 ……3分,因为,
所以,又为三角形的内角,所以 ……2分
(Ⅱ),由及得 ……2分
,
又,所以当时,取最大值 ……3分
18、解:(Ⅰ)设公差为,由,得,
,因为数列{}的各项均为正数,
所以得 ……3分 又,所以 ……2分
由,得 ……1分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得……2分
于是
……4分
19、(Ⅰ)如图,连结,因为、
分别是棱、的中点,
所以……2分
因为平面,,不在平面
内,所以平面 ……3分
(Ⅱ)解:因为平面,
所以,因为是直角梯形,
且,所以,又,所以平面,即是三棱锥的高 ……4分
因为是棱的中点,所以,
于是三棱锥的体积 ……3分
20、解:从5名同学、、、、中选出3名同学的基本事件空间为:
,共含有10个基本事件 ……3分
(Ⅰ)设事件为“同学被选取”,则事件包含6个基本事件,
事件发生的概率为 ……3分
(Ⅱ)设事件为“同学和同学都被选取”,则事件包含3个基本事件,
事件发生的概率为 ……3分
(Ⅲ)设事件为“同学和同学中至少有一个被选取”,则事件包含9个基本事件,事件发生的概率为 ……3分
21、解:(Ⅰ)由得 ……2分
由点(,0),(0,)知直线的方程为,
于是可得直线的方程为 ……2分
因此,得,,,
所以椭圆的方程为 ……2分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知、的坐标依次为(2,0)、,
因为直线经过点,所以,得,
即得直线的方程为 ……2分
因为,所以,即 ……1分
设的坐标为,则
得,即直线的斜率为4 ……2分
又点的坐标为,因此直线的方程为 ……1分
22、解:(Ⅰ),因为在时取得极值,
所以是方程的根,即 ……2分
得,又因为,
所以的取值范围是 ……2分
(Ⅱ)当时,, ,
因为,当时,,在内单调递减……2分
当时,,令解得
或,令,解得,
于是当时,在内单调递增,
在内单调递减 ……2分
(Ⅲ)因为函数在时有极值,所以有,
消去得,解之得或,又,所以取,
此时 ……2分
因此,,
可得当时取极大值,
当时取极小值 ……2分
如图,方程有三个不相等的实数根,等价于直线与曲线
有三个不同的交点,由图象得 ……2分
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