题目列表(包括答案和解析)
物理学家James.D.Forbes试图通过水的沸点来估计海拔高度,他知道通过气压计测得的大气压可用于得到海拔高度,气压越低,高度越高,他测量了17个地方水的沸点(℉)及大气压数据,并且对数据作了简单的处理,得到了较为明确的数学关系,所提数据如下:
测点编号 |
沸点(℉) |
气压 |
1g(气压) |
100´1g(气压) |
1 |
194.5 |
20.79 |
1.3179 |
131.79 |
2 |
194.3 |
20.79 |
1.3179 |
131.79 |
3 |
197.9 |
22.40 |
1.3502 |
135.02 |
4 |
198.4 |
22.67 |
1.3555 |
135.55 |
5 |
199.4 |
23.15 |
1.3646 |
136.46 |
6 |
199.9 |
23.35 |
1.3683 |
136.83 |
7 |
200.9 |
23.89 |
1.3782 |
137.82 |
8 |
201.1 |
23.99 |
1.3800 |
138.00 |
9 |
201.4 |
24.02 |
1.3805 |
138.05 |
10 |
201.3 |
24.01 |
1.3806 |
138.06 |
11 |
203.6 |
25.14 |
1.4004 |
140.04 |
12 |
204.6 |
26.57 |
1.4244 |
142.44 |
13 |
209.5 |
28.49 |
1.4547 |
145.47 |
15 |
208.6 |
27.76 |
1.4434 |
144.34 |
15 |
210.7 |
29.04 |
1.4630 |
146.30 |
16 |
211.9 |
29.88 |
1.4754 |
147.54 |
17 |
212.2 |
30.06 |
1.4780 |
147.80 |
(1)试作出气压y=100´1g(气压)关于沸点(℉)的散点图;
(2)根据散点图判断变量x与y的相关关系;计算变量x与y的相关系数;
(3)建立变量x与y的一元线性回归方程。
测点编号 |
沸点(℉) |
气压 |
1g(气压) |
100´1g(气压) |
1 |
194.5 |
20.79 |
1.3179 |
131.79 |
2 |
194.3 |
20.79 |
1.3179 |
131.79 |
3 |
197.9 |
22.40 |
1.3502 |
135.02 |
4 |
198.4 |
22.67 |
1.3555 |
135.55 |
5 |
199.4 |
23.15 |
1.3646 |
136.46 |
6 |
199.9 |
23.35 |
1.3683 |
136.83 |
7 |
200.9 |
23.89 |
1.3782 |
137.82 |
8 |
201.1 |
23.99 |
1.3800 |
138.00 |
9 |
201.4 |
24.02 |
1.3805 |
138.05 |
10 |
201.3 |
24.01 |
1.3806 |
138.06 |
11 |
203.6 |
25.14 |
1.4004 |
140.04 |
12 |
204.6 |
26.57 |
1.4244 |
142.44 |
13 |
209.5 |
28.49 |
1.4547 |
145.47 |
15 |
208.6 |
27.76 |
1.4434 |
144.34 |
15 |
210.7 |
29.04 |
1.4630 |
146.30 |
16 |
211.9 |
29.88 |
1.4754 |
147.54 |
17 |
212.2 |
30.06 |
1.4780 |
147.80 |
(1)试作出气压y=100´1g(气压)关于沸点(℉)的散点图;
(2)根据散点图判断变量x与y的相关关系;计算变量x与y的相关系数;
(3)建立变量x与y的一元线性回归方程。
| ||||||||||
|
| ||||||
|
. |
y |
. |
x |
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
C
D
A
D
C
C
D
B
二、填空题(每小题5分,共20分)
13、(1,2); 14、20; 15、21;16、.
三、解答题
17、解:(Ⅰ)当时,有,又,所以 ……1分
当时,
=
所以,且当时, ……3分
又,因此数列{}是以1为首项
且公差为2的等差数列,所以 ……2分
(Ⅱ)证明:(1)当时,,,关系成立 ……1分
(2)假设当时,关系成立,即,则
……1分 那么
,即当时关系也成立
……3分 根据(1)和(2)知,关系式对任意N*都成立 ……1分
18、解:(Ⅰ)如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则,,,
,, ……1分
设,则,,
即AM⊥BC,又因为,且,
所以 AM^平面 ……3分
(Ⅱ),因为,所以,得,
即,可得平面的一个法向量为= ……3分
,设平面的一个法向量为,
则且,得,,令,得平面的一个法向量为= ……3分设平面ABM与平面AB
则 ……2分
19、解:(Ⅰ)随机变量甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
5
6
……6分
泳道相隔数X的期望为:
E(X)= ……2分
(Ⅱ) ……4分
20、解:(Ⅰ)由得 ……2分
可得直线的方程为,于是,
得,,,所以椭圆的方程为 ……2分
(Ⅱ)设,由方程组得,
所以有,,且,即 ……2分
……2分
因为,所以,又,所以是线段的中点,
点的坐标为,即的坐标是,因此
直线的方程为,得点的坐标为(0,),
所以 ……2分
因此
所以当,即时,取得最大值,最大值为 ……2分
21、解:(Ⅰ)
……2分
若,则,为R上的单调递增函数;
若,的解为或,的解为,
此时在区间单调递增,在区间单调递减;
若,的解为或,的解为,
此时在区间单调递增,在区间单调递减……3分
(Ⅱ)当时,,,
因为,所以点(0,)不在曲线上,设过点的直线与曲线相切于点,则切线方程为,所以有及
,得……2分 令,
则,
令,得,,,可得在区间单调递增,在区间单调递减,所以在时取极大值,
在时取极小值,在时取极大值,又,
所以是的最大值 ……3分
如图,过点(0,)有且只有一条直线与曲线
相切等价于直线与曲线
有且只有一个交点,又当时,,所以或 ……2分
22、(Ⅰ)证明:因为AB为⊙O直径,
所以 ∠ACB=90°,即 AC⊥BC,
因为D是弧的中点,由垂径定理
得OD⊥BC,因此OD∥AC ……3分
又因为点O为AB的中点,所以点E为
BC的中点,所以OE=AC ……2分
(Ⅱ)证明:连结CD,因为PC是⊙O的切线,所以∠PCD=∠CAP,又∠P是公共角,所以 △PCD∽△PAC.得,得 ……3分
因为D是弧的中点,所以,因此 ……2分
23、解:(Ⅰ)曲线上的动点的坐标为(,),坐标原点(0,0),
设P的坐标为(,),则由中点坐标公式得,,所以点P 的坐标为(,)……3分
因此点的轨迹的参数方程为(为参数,且),
消去参数得点轨迹的直角坐标方程为 ……2分
(Ⅱ)由直角坐标与极坐标关系得直线的直角坐标方程为
……2分 又由(Ⅰ)知点的轨迹为圆心在原点半径为2的圆,
因为原点(0,0)到直线的距离为
所以点到直线距离的最大值 ……3分
24、解:(Ⅰ)由题意得,即 得 ……2分
因为
所以的取值范围是[0,6] ……3分
(Ⅱ),
因为对于,由绝对值的三角不等式得
……3分
于是有,得,即的取值范围是 ……2分
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