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以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C：，过极点的直线
（且是参数）交曲线C于两点0，A，令OA的中点为M.
(1)求点M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.
(2)当时，求M点的直角坐标.

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一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

A

B

C

D

A

D

C

C

D

B

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、．

三、解答题

17、解：（Ⅰ）当时，有，又，所以 ……1分

当时，

           =

         所以，且当时，  ……3分

又，因此数列{}是以1为首项

且公差为2的等差数列，所以  ……2分

（Ⅱ）证明：（1）当时，，，关系成立 ……1分

 （2）假设当时，关系成立，即，则

   ……1分  那么

   ，即当时关系也成立

……3分  根据（1）和（2）知，关系式对任意N^*都成立  ……1分

18、解：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA，CB，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，

，，  ……1分

设，则，，

即AM⊥BC，又因为，且，

所以 AM^平面  ……3分

（Ⅱ），因为，所以，得，

即，可得平面的一个法向量为=  ……3分

，设平面的一个法向量为，

则且，得，，令，得平面的一个法向量为=  ……3分设平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角为，

则  ……2分

19、解：（Ⅰ）随机变量甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数X的分布列为：

X

0

1

2

3

4

5

6

     ……6分

泳道相隔数X的期望为：

E（X）= ……2分

（Ⅱ）  ……4分

20、解：（Ⅰ）由得  ……2分

可得直线的方程为，于是，

得，，，所以椭圆的方程为  ……2分

（Ⅱ）设，由方程组得，

      所以有，，且，即 ……2分

            ……2分

     因为，所以，又，所以是线段的中点，

     点的坐标为，即的坐标是，因此

     直线的方程为，得点的坐标为（0，），

     所以   ……2分

    因此

    所以当，即时，取得最大值，最大值为 ……2分

21、解：（Ⅰ）

                     ……2分

若，则，为R上的单调递增函数；

若，的解为或，的解为，

此时在区间单调递增，在区间单调递减；

若，的解为或，的解为，

此时在区间单调递增，在区间单调递减……3分

（Ⅱ）当时，，，

因为，所以点（0，）不在曲线上，设过点的直线与曲线相切于点，则切线方程为，所以有及

，得……2分 令，

则，

令，得，，，可得在区间单调递增，在区间单调递减，所以在时取极大值，

在时取极小值，在时取极大值，又，

所以是的最大值 ……3分 

如图，过点（0，）有且只有一条直线与曲线

相切等价于直线与曲线

有且只有一个交点，又当时，，所以或  ……2分

22、（Ⅰ）证明：因为AB为⊙O直径，

所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，

因为D是弧的中点，由垂径定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC  ……3分

又因为点O为AB的中点，所以点E为

BC的中点，所以OE＝AC  ……2分

（Ⅱ）证明：连结CD，因为PC是⊙O的切线，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得，得 ……3分

因为D是弧的中点，所以，因此   ……2分

23、解：（Ⅰ）曲线上的动点的坐标为（，），坐标原点（0，0），

     设P的坐标为（，），则由中点坐标公式得，，所以点P 的坐标为（，）……3分

      因此点的轨迹的参数方程为（为参数，且），

消去参数得点轨迹的直角坐标方程为 ……2分

（Ⅱ）由直角坐标与极坐标关系得直线的直角坐标方程为

  ……2分 又由（Ⅰ）知点的轨迹为圆心在原点半径为2的圆，

因为原点（0，0）到直线的距离为

所以点到直线距离的最大值  ……3分

24、解：（Ⅰ）由题意得，即  得 ……2分

     因为 

所以的取值范围是[0，6]   ……3分

（Ⅱ），

因为对于，由绝对值的三角不等式得

   ……3分

于是有，得，即的取值范围是  ……2分