已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

（1）证明：面面；

（2）求与所成的角；

（3）求面与面所成二面角的余弦值．

【解析】（1）利用面面垂直的性质，证明CD⊥平面PAD．

（2）建立空间直角坐标系，写出向量与的坐标，然后由向量的夹角公式求得余弦值，从而得所成角的大小.

（3）分别求出平面的法向量和面的一个法向量，然后求出两法向量的夹角即可．

 

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

又因为,………………2分

又，得证。

第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

又因为,又………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

 

如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小．

【解析】第一问利用线面垂直的判定定理和建立空间直角坐标系得到法向量来表示二面角的。

第二问中，以A为原点，如图所示建立直角坐标系

，，

设平面FAE法向量为，则

，，

 

如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得证明

（3）因为∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，，

∴与的夹角为，即二面角的大小为．

方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴，又点，，∴

∴，且与不共线，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴，

∴与的夹角为，即二面角的大小为

 

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小

【解析】解法一：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC,又