是椭圆上的任一点.设.则有即 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知点为圆上的动点,且不在轴上,轴,垂足为,线段中点的轨迹为曲线,过定点任作一条与轴不垂直的直线,它与曲线交于两点。

(I)求曲线的方程;

(II)试证明:在轴上存在定点,使得总能被轴平分

【解析】第一问中设为曲线上的任意一点,则点在圆上,

,曲线的方程为

第二问中,设点的坐标为,直线的方程为,  ………………3分   

代入曲线的方程,可得 

,∴

确定结论直线与曲线总有两个公共点.

然后设点,的坐标分别, ,则,  

要使轴平分,只要得到。

(1)设为曲线上的任意一点,则点在圆上,

,曲线的方程为.  ………………2分       

(2)设点的坐标为,直线的方程为,  ………………3分   

代入曲线的方程,可得 ,……5分            

,∴

∴直线与曲线总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆的内部得到此结论)

………………6分

设点,的坐标分别, ,则,   

要使轴平分,只要,            ………………9分

,        ………………10分

也就是

,即只要  ………………12分  

时,(*)对任意的s都成立,从而总能被轴平分.

所以在x轴上存在定点,使得总能被轴平分

 

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