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(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB =" BC" = kPA，点E、D分别是AC、PC的中点，EP⊥底面ABC．

(1) 求证：ED∥平面PAB；
(2) 求直线AB与平面PAC所成的角；
(3) 当k取何值时，E在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

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一、选择题：

1. C    2. D     3. A   4 . C   5. C     6. B   7. C  8. B    9. D  10. B

二、填空题：

11. －13      12.         13.  100π    14.    15. 0

三、解答题：

16. (1) f(x)=(+)²+sin 2x=3cos²x+sin²x+sin2x=2cos(2x－)+2     

      函数f(x)的最小值是0，f(x)的最大值是

  (2) －1<t<

17．（1）一次摸奖从个球中任取两个，有种方法。它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，一次摸奖中奖的概率                                   ……6分

    （2）设每次摸奖中奖的概率为，三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是，

         因而在上为增函数，

在上为减函数，                                   ……9分

（用重要不等式确定p值的参照给分）

∴当时取得最大值，即，解得或（舍去），则当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大. ……12分

18．【方法一】证明：在线段BC₁上取中点F，连结EF、DF

则由题意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，

∴四边形EFDA₁是平行四边形

∴A₁E∥FD，又A₁E平面BDC₁，FD平面BDC₁

∴A₁E∥平面BDC₁                              …6分

(2)由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，过点E作

EH⊥BC₁于H，连结A₁H，则∠A₁HE为二面角A₁－BC₁－B₁的平面角        …8分

在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁边上的高为，∴EH=，

又A₁E=2,∴tan∠A₁HE==

∴二面角A₁－BC₁－B₁为arctan                     …12分

【方法二】建立如图所示的空间直角坐标系，题意知B(－2,0,0),

D(2,40),A₁(2,8,0), C₁(0,8,2)，B₁(－2,8,0), E(－1,8,),

=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),

=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),

=(2,8, 2).                                                   

(1)证明：∵=2(+)∴A₁E∥平面BDC₁                                       …6分

(2)设=（x,y,1）为平面A₁BC₁的一个法向量，则，且，即解得∴=（,,1），同理，设=（x,y,1）为平面B₁BC₁的一个法向量，则，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－

∴二面角A₁－BC₁－B₁为arccos.                                      …12分

19. (1)由题意，知a=2c，=4，解得a=2,c=1,∴b=，故椭圆方程为 …5分

(2)设P(2cosθ, sinθ),M(4,m),N(4,n),则A(－2,0),B(2,0),

由A、P、M三点共线，得m=…7分

由B、P、N三点共线，得n=,           …9分

设Q(t,0)，则由得

 (t－4)(t－4)+(0－)(0－)=0,

整理得：(t－4)²－9=0      解得t=1或t=7

∴Q点的坐标是(7,0)或(1,0).                   …12分

20．20.解：（1）

（2）

21.解： （1）∵，

由题设可知：即sinθ≥1    ∴sinθ=1.      …4分

从而a= ,∴f(x)= x³+x²－2x+c,而又由f(1)= 得c=.

∴f(x)= x³+x²－2x+即为所求.                                …6分

(2)由=（x+2）（x－1），易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均为增函数，在(－2,1)上为减函数.           …8分

①当m＞1时，f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)_max=f(m+3), f(x)_min=f(m)

由f(m+3)－f(m)= (m+3)³+(m+3)²－2(m+3)－m³－m²+2m=3m²+12m+≤，

得－5≤m≤1.这与条件矛盾，故                    …10分

② 当0≤m≤1时，f(x)在[m,1]上递增, 在[1,m+3]上递增

∴f(x)_min=f(1), f(x)_max=max{ f(m),f(m+3) },

又f(m+3)－f(m)= 3m²+12m+=3(m+2)²－＞0(0≤m≤1)

∴f(x)_max= f(m+3)∴|f(x₁)－f(x₂)|≤f(x)_max－f(x)_min= f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)= 恒成立.    …12分

故当0≤m≤1时，原不等式恒成立.综上，存在m且m∈[0,1]合题意.                      …13分