已知a.b.c成等比数列.如果a.x.b和b.y.c都成等差数列.则= .——青夏教育精英家教网—

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题目列表(包括答案和解析)

已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=_________

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=_________

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已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则＝_________．

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难点磁场

解法一：将S_m=30,S_2m=100代入S_n=na₁+d,得：

解法二：由知，要求S_3m只需求m［a₁+］,将②－①得ma₁+ d=70,∴S_3m=210.

解法三：由等差数列{a_n}的前n项和公式知，S_n是关于n的二次函数，即S_n=An²+Bn(A、B是常数）.将S_m=30,S_2m=100代入，得

,∴S_3m=A?(3m)²+B?3m=210

解法四：S_3m=S_2m+a_2m₊₁+a_2m₊₂+…+a_3m=S_2m+(a₁+2md)+…+(a_m+2md)=S_2m+(a₁+…+a_m)+m?2md=S_2m+S_m+2m²d.

由解法一知d=,代入得S_3m=210.

解法五：根据等差数列性质知：S_m,S_2m－S_m,S_3m－S_2m也成等差数列，从而有：2(S_2m－S_m)=S_m+(S_3m－S_2m)

∴S_3m=3(S_2m－S_m)=210

解法六：∵S_n=na₁+d,

∴=a₁+d

∴点(n, )是直线y=+a₁上的一串点，由三点(m,),(2m, ),(3m, )共线，易得S_3m=3(S_2m－S_m)=210.

解法七：令m=1得S₁=30，S₂=100，得a₁=30,a₁+a₂=100,∴a₁=30,a₂=70

∴a₃=70+(70－30)=110

∴S₃=a₁+a₂+a₃=210

答案：210

歼灭难点训练

一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意，，而a₁=－1,故q≠1,

∴,根据等比数列性质知S₅，S₁₀－S₅，S₁₅－S₁₀,…,也成等比数列，且它的公比为q⁵,∴q⁵=－,即q=－.

∴

答案：B

二、2.解析：解出a、b,解对数不等式即可.

答案：(－∞,8)

3.解析：利用S_奇/S_偶=得解.

答案：第11项a₁₁=29

4.解法一：赋值法.

解法二：

b=aq,c=aq²,x=(a+b)=a(1+q),y=(b+c)=aq(1+q),

==2.

答案：2

三、5.(1)解：依题意有：

解之得公差d的取值范围为－＜d＜－3.

(2)解法一：由d＜0可知a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃,因此，在S₁，S₂，…，S₁₂中S_k为最大值的条件为：a_k≥0且a_k₊₁＜0,即

∵a₃=12,∴，∵d＜0,∴2－＜k≤3－

∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.

因为k是正整数，所以k=6,即在S₁，S₂，…，S₁₂中，S₆最大.

解法二：由d＜0得a₁>a₂>…>a₁₂>a₁₃，因此，若在1≤k≤12中有自然数k,使得a_k≥0,且a_k₊₁＜0,则S_k是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、q∈N^*,且m+n=p+q时，a_m+a_n=a_p+a_q.所以有：2a₇=a₁+a₁₃=S₁₃＜0,∴a₇＜0,a₇+a₆=a₁+a₁₂=S₁₂>0,∴a₆≥－a₇>0,故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆最大.

解法三：依题意得：

最小时，S_n最大；

∵－＜d＜－3,∴6＜(5－)＜6.5.从而，在正整数中，当n=6时，［n－ (5－)］²最小，所以S₆最大.

点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{S_n}中的最大值S_k,1≤k≤12,思路之一是知道S_k为最大值的充要条件是a_k≥0且a_k₊₁＜0，思路之三是可视S_n为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.